Условие
На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки K и L так, что AK : KB = 2 : 3 и BL : LC = 4 : 1. Прямая KL пересекает прямую AC в точке P. а) Докажите, что PC : PA = 3 : 8. б) Найдите площадь треугольника CLP, если площадь треугольника ABC равна 75.
Подсказка
Проведите через C прямую, параллельную AB, и найдите две пары подобных треугольников.
Площади треугольников с равными (или смежными) углами относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.
Показать ответ
9
Пошаговое решение
- а) Дополнительное построение
Проведём через C прямую, параллельную AB; пусть она пересекает прямую KL в точке T. Обозначим AK = 2t, KB = 3t.
- а) Подобие треугольников CLT и BLK
Углы CLT и BLK вертикальные, ∠LCT = ∠LBK как накрест лежащие при CT ∥ BK. Значит, треугольники подобны: CT/BK = CL/BL = 1/4, CT = (3/4)t.
- а) Подобие треугольников PCT и PAK
CT ∥ AK, поэтому треугольники PCT и PAK подобны (угол P общий): PC/PA = CT/AK = (3/4)t : 2t = 3/8. Так как CT < AK, точка P лежит на продолжении AC за точку C. Что и требовалось доказать (это частный случай теоремы Менелая).
- б) Отношения отрезков
PC : PA = 3 : 8 и P лежит за C, поэтому CA = PA − PC = 5 частей: PC : CA = 3/5. Кроме того, CL : CB = 1/5.
- б) Площадь треугольника CLP
Углы LCP и ACB смежные, их синусы равны, поэтому S(CLP)/S(ABC) = (CL·CP)/(CB·CA) = (1/5)·(3/5) = 3/25, S(CLP) = 75·(3/25) = 9. Типичная ошибка — взять CP : CA = 3/8 (перепутать CA и PA): получится 45/8.
Ответ: 9
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а отношение PC : PA обосновано через построение CT ∥ AB и две пары подобных треугольников (или по теореме Менелая) с указанием положения P; в пункте б найдены PC : CA = 3/5, CL : CB = 1/5 и отношение площадей с учётом смежных углов при C, получен ответ 9.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 9 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (PC : PA = 3 : 8) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (PC : PA = 3 : 8), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен ответ 9 в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.