Условие
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны, их сумма равна 34, а площадь четырёхугольника равна 120. Точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. а) Докажите, что точки K, L, M и N лежат на одной окружности. б) Найдите радиус этой окружности.
Подсказка
Отрезки KL, LM, MN, NK — средние линии треугольников. Каким диагоналям они параллельны?
Найдите AC² + BD², не вычисляя самих диагоналей: используйте сумму и произведение.
Показать ответ
13/2
Пошаговое решение
- а) Средние линии треугольников
KL — средняя линия треугольника ABC: KL ∥ AC, KL = AC/2. NM — средняя линия треугольника ADC: NM ∥ AC, NM = AC/2. Аналогично LM ∥ BD, KN ∥ BD и LM = KN = BD/2.
- а) KLMN — прямоугольник
Противоположные стороны KL и NM равны и параллельны, поэтому KLMN — параллелограмм. Его соседние стороны параллельны перпендикулярным диагоналям AC и BD, значит, угол KLM прямой, KLMN — прямоугольник. Около прямоугольника можно описать окружность (центр — точка пересечения его диагоналей), поэтому K, L, M, N лежат на одной окружности.
- б) Сумма квадратов диагоналей
Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями S = (1/2) · AC · BD, откуда AC · BD = 240. AC² + BD² = (AC + BD)² − 2 · AC · BD = 34² − 2 · 240 = 1156 − 480 = 676.
- б) Диаметр — диагональ прямоугольника
Диаметр окружности — диагональ KM прямоугольника со сторонами AC/2 и BD/2: KM² = (AC² + BD²)/4 = 169, KM = 13. Радиус R = KM/2 = 13/2.
- Проверяем и записываем ответ
Сами диагонали — корни уравнения x² − 34x + 240 = 0: 10 и 24; прямоугольник KLMN со сторонами 5 и 12 имеет диагональ √(5² + 12²) = 13 — совпадает. Типичная ошибка — принять за радиус половину стороны прямоугольника или забыть разделить диагональ KM на 2 и ответить 13.
Ответ: 13/2
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что KLMN — прямоугольник (средние линии параллельны перпендикулярным диагоналям), поэтому точки лежат на одной окружности; в пункте б найдены AC · BD = 240, AC² + BD² = 676 и диаметр KM как диагональ прямоугольника и получен ответ 13/2.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 13/2 в пункте б, но доказательство пункта а отсутствует или неверно, ИЛИ верно доказано, что KLMN — прямоугольник (средние линии параллельны перпендикулярным диагоналям), поэтому точки лежат на одной окружности, а в обоснованном решении пункта б допущена арифметическая ошибка (например, в сумме квадратов диагоналей).
- 1
- Верно доказано только утверждение пункта а (KLMN — прямоугольник (средние линии параллельны перпендикулярным диагоналям), поэтому точки лежат на одной окружности), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ верный ответ 13/2 в пункте б получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.