Условие
В треугольнике ABC AB=13, AC=15, BC=14. Биссектриса угла A пересекает BC в D и повторно пересекает описанную окружность в E. а) Докажите, что EB=EC. б) Найдите DE.
Подсказка
Равные вписанные углы опираются на равные хорды.
После нахождения AD используйте две хорды, пересекающиеся в D.
Показать ответ
а) EB=EC; б) √65/2.
Пошаговое решение
- Обосновываем расположение
Биссектриса лежит внутри угла A; D находится внутри BC и внутри круга. Поэтому на луче AD точки расположены в порядке A, D, E.
- Доказываем равенство хорд
Углы BAE и EAC равны, поскольку AE — биссектриса. Это вписанные углы одной окружности; они опираются на дуги BE и EC, не содержащие A. Равным углам соответствуют равные дуги и хорды. Следовательно, EB=EC.
- Находим отрезки основания
BD/DC=AB/AC=13/15, BD+DC=14. Поэтому BD=13/2, DC=15/2.
- Определяем высоту из A
Введём B=(0;0), C=(14;0), A=(u;v), v>0. Из AB²=u²+v²=169 и AC²=(u−14)²+v²=225 вычитаем первое уравнение из второго: 196−28u=56. Получаем u=5 и v²=144, v=12. Зеркальный выбор v<0 длин не меняет.
- Вычисляем AD
D=(13/2;0). Тогда AD²=(13/2−5)²+12²=9/4+144=585/4. Значит AD=3√65/2.
- Применяем пересечение хорд
Хорды AE и BC пересекаются внутри окружности в D. По теореме о произведениях отрезков хорд AD·DE=BD·DC=195/4. Отсюда DE=(195/4)/(3√65/2)=√65/2.
- Проверяем результат
Обе длины положительны; (3√65/2)(√65/2)=195/4, что совпадает с (13/2)(15/2). Точка E взята за D, а не на противоположном луче.
Ответ: а) EB=EC; б) √65/2.
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Пункт а доказан, расположение точек и все шаги вычисления DE обоснованы; ответ √65/2.
- 2
- Пункт а доказан, в верном методе вычисления DE допущена одна вычислительная ошибка.
- 1
- Полностью доказан пункт а либо полностью и обоснованно решён пункт б.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.