Условие
Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке D. Окружности с центрами O₁ и O₂ вписаны в треугольники ABD и CBD соответственно. а) Докажите, что эти окружности касаются отрезка BD в одной и той же точке. б) Найдите O₁O₂, если AB = 13, BC = 8, AC = 15.
Подсказка
Выразите расстояние от B до точки касания каждой из окружностей с BD через стороны треугольников.
Если обе окружности касаются BD в одной точке, где лежат их центры?
Показать ответ
7√3/3
Пошаговое решение
- а) Отрезки касательных
Если окружность вписана в треугольник XYZ, то отрезок касательной из вершины X равен (XY + XZ − YZ)/2. Пусть окружности касаются BD в точках T₁ и T₂, тогда BT₁ = (AB + BD − AD)/2 (треугольник ABD) и BT₂ = (BC + BD − DC)/2 (треугольник CBD).
- а) Сравниваем
D — точка касания вписанной окружности треугольника ABC, поэтому AD = p − BC и DC = p − AB, где p — полупериметр ABC. Тогда AB − AD = AB + BC − p и BC − DC = BC + AB − p — одно и то же число, значит, BT₁ = BT₂ и точки T₁ и T₂ совпадают.
- б) Отрезки AD, DC и BD
p = (13 + 8 + 15)/2 = 18, AD = 18 − 8 = 10, DC = 18 − 13 = 5. cos A = (AB² + AC² − BC²)/(2·AB·AC) = (169 + 225 − 64)/390 = 11/13, BD² = AB² + AD² − 2·AB·AD·cos A = 169 + 100 − 220 = 49, BD = 7.
- б) Радиусы r₁ и r₂
sin A = 4√3/13. S(ABD) = (1/2)·AB·AD·sin A = 20√3, полупериметр (13 + 7 + 10)/2 = 15, r₁ = S/p = 4√3/3. S(ABC) = (1/2)·AB·AC·sin A = 30√3, S(CBD) = 30√3 − 20√3 = 10√3, полупериметр (8 + 7 + 5)/2 = 10, r₂ = √3.
- б) Расстояние между центрами
По пункту а обе окружности касаются BD в одной точке T, поэтому O₁T ⊥ BD и O₂T ⊥ BD: центры лежат на одном перпендикуляре к BD по разные стороны от BD. O₁O₂ = r₁ + r₂ = 4√3/3 + √3 = 7√3/3. Типичная ошибка — перепутать отрезки и взять AD = p − AB.
Ответ: 7√3/3
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а через отрезки касательных показано, что BT₁ = BT₂, с использованием AD = p − BC и DC = p − AB; в пункте б найдены AD = 10, BD = 7, радиусы 4√3/3 и √3, обосновано, что O₁O₂ = r₁ + r₂, получен ответ 7√3/3.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 7√3/3 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (окружности касаются BD в одной точке) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (окружности касаются BD в одной точке), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен ответ 7√3/3 в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.