Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x+2)²=12|x−a| имеет ровно три различных действительных корня.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 1: Раскройте модуль отдельно на лучах x≥a и x≤a и исследуйте дискриминанты двух квадратных уравнений.
Шаг 2 для варианта 1: На промежутке (-5; 1) обе ветви дают по два корня; выясните, когда их общий корень равен x=a.
Показать ответ
−5; −2; 1
Пошаговое решение
- Не теряем случаи
После разложения на множители или введения замены рассматриваем каждую ветвь отдельно. Учитываем ограничения для новой переменной и возвращаемся к исходной. Если требуется число различных корней, совпавшие корни учитываем один раз.
- Намечаем ход решения
Раскройте модуль отдельно на лучах x≥a и x≤a и исследуйте дискриминанты двух квадратных уравнений. На промежутке (-5; 1) обе ветви дают по два корня; выясните, когда их общий корень равен x=a.
- Вводим обозначения
Введём y=x+2, b=a+2.
- Выполняем преобразование
Тогда x−a=y−b, а исходное уравнение принимает вид y²=12|y−b|.
- Выполняем преобразование
На ветви y≥b: y²=12(y−b), то есть y²−12y+12b=0.
- Находим корни уравнения
Его дискриминант D₁=144−48b=48(3−b).
- Выполняем преобразование
Корни этой квадратной ветви автоматически удовлетворяют y≥b, так как y−b=y²/12≥0.
- Находим корни уравнения
Для x≥a дискриминант обращается в ноль при b=3, то есть a=1; ветвь даёт два корня при a<1, один при a=1, ни одного при a>1.
- Выполняем преобразование
На ветви y≤b: y²=12(b−y), то есть y²+12y−12b=0. D₂=144+48b=48(3+b).
- Выполняем преобразование
Корни удовлетворяют ветви, поскольку b−y=y²/12≥0.
- Выполняем преобразование
Поэтому для x≤a граница равна -5: два корня при a>-5, один при a=-5, ни одного при a<-5.
- Выполняем преобразование
Поэтому при a=-5 и a=1 всего по три корня.
- Выполняем преобразование
Внутри (-5; 1) обычно получаются четыре корня.
- Выполняем преобразование
Ветви имеют общий корень только в точке x=a; подстановка даёт (a+2)²=0, то есть a=-2.
- Выполняем преобразование
Тогда корни -2 и -2±12 различны.
- Выполняем преобразование
Вне указанного отрезка корней не три.
Ответ: −5; −2; 1