Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x²−2ax+a+12)/(x−5)=0 имеет ровно одно положительное решение.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 2: Исследуйте дискриминант, сумму и произведение корней числителя; не забудьте ОДЗ.
Шаг 2 для варианта 2: При a>4 оба корня положительны. Один из них должен совпасть с запрещённой точкой x=5.
Показать ответ
(−∞; −12) ∪ {4; 37/9}
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Исследуйте дискриминант, сумму и произведение корней числителя; не забудьте ОДЗ. При a>4 оба корня положительны. Один из них должен совпасть с запрещённой точкой x=5.
- Учитываем ограничения
ОДЗ: x≠5.
- Выполняем преобразование
Для числителя D/4=a²−a−12=(a−4)(a+3), сумма корней 2a, произведение a+12.
- Выполняем преобразование
При a<−12 корни имеют разные знаки, значит, положительный корень один.
- Выполняем преобразование
При a=−12 корни 0 и отрицательное число, поэтому подходящих нет.
- Выполняем преобразование
На промежутке [−12; 4) положительного корня нет.
- Выполняем преобразование
При a=4 имеется один двойной положительный корень x=4.
- Учитываем ограничения
При a>4 положительных корня два, кроме случая, когда один удаляет ОДЗ.
- Выполняем преобразование
Подстановка x=5 в числитель даёт 25+12−a·9=0, откуда a=37/9.
Ответ: (−∞; −12) ∪ {4; 37/9}