Условие
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение (x²−25)/(x−13)=ax+2 имеет ровно один действительный корень.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 4: После учёта ОДЗ x≠13 умножьте на знаменатель и отдельно рассмотрите a=1.
Шаг 2 для варианта 4: При a≠1 квадратное уравнение имеет ровно один корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю.
Показать ответ
0; 48/169; 1
Пошаговое решение
- Не теряем случаи
После разложения на множители или введения замены рассматриваем каждую ветвь отдельно. Учитываем ограничения для новой переменной и возвращаемся к исходной. Если требуется число различных корней, совпавшие корни учитываем один раз.
- Намечаем ход решения
После учёта ОДЗ x≠13 умножьте на знаменатель и отдельно рассмотрите a=1. При a≠1 квадратное уравнение имеет ровно один корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю.
- Учитываем ограничения
ОДЗ: x≠13.
- Выполняем преобразование
Умножение даёт (1−a)x²+(a·13−2)x+1=0.
- Выполняем преобразование
Точка x=13 корнем быть не может: исходный числитель там равен 144≠0.
- Выполняем преобразование
При a=1 уравнение линейное с ненулевым коэффициентом, поэтому корень один.
- Выполняем преобразование
При a≠1 нужен D=0.
- Находим корни уравнения
После раскрытия дискриминанта и решения квадратного уравнения относительно a получаем a=0 или a=48/169.
- Выполняем преобразование
Все найденные значения допустимы, а при остальных значениях квадратное уравнение имеет ноль или два корня.
Ответ: 0; 48/169; 1