Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (4ˣ−(a+1)·2ˣ+a)/(2ˣ−2)=0 имеет ровно один действительный корень.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 6: Сделайте замену t=2ˣ>0 и разложите числитель на множители.
Шаг 2 для варианта 6: Корни по t равны 1 и a, но значение t=2 запрещено знаменателем.
Показать ответ
(−∞; 0] ∪ {1; 2}
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Сделайте замену t=2ˣ>0 и разложите числитель на множители. Корни по t равны 1 и a, но значение t=2 запрещено знаменателем.
- Вводим обозначения
Положим t=2ˣ>0.
- Получаем следующий результат
Получаем (t−1)(t−a)/(t−2)=0.
- Выполняем преобразование
При a≤0 допустим только t=1, поэтому решение одно.
- Выполняем преобразование
При a=1 оба множителя дают то же значение t=1.
- Учитываем ограничения
При a>0 и a≠1 обычно имеются два корня; при a=2 второй корень удаляется ОДЗ t≠2.
- Выполняем преобразование
Других случаев нет.
Ответ: (−∞; 0] ∪ {1; 2}