Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (x²−25)((x²−a)²−9)=0 имеет ровно четыре различных действительных корня.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 3: Первая скобка даёт ±p. Во второй скобке положите t=x²≥0.
Шаг 2 для варианта 3: Отдельно проверьте границы a=±3 и совпадения a±3=25.
Показать ответ
(−3; 3) ∪ {22; 28}
Пошаговое решение
- Не теряем случаи
После разложения на множители или введения замены рассматриваем каждую ветвь отдельно. Учитываем ограничения для новой переменной и возвращаемся к исходной. Если требуется число различных корней, совпавшие корни учитываем один раз.
- Намечаем ход решения
Первая скобка даёт ±p. Во второй скобке положите t=x²≥0. Отдельно проверьте границы a=±3 и совпадения a±3=25.
- Выполняем преобразование
Первая скобка даёт x=±5.
- Получаем следующий результат
Из второй получаем t=x²=a−3 или a+3.
- Выполняем преобразование
Положительное t даёт два корня, t=0 — один, отрицательное — ни одного; значение t=25 новых корней не добавляет.
- Выполняем преобразование
При −3<a<3 положительно только a+3, поэтому вместе с ±5 корней четыре.
- Выполняем преобразование
При a=±3 число корней равно трём или пяти.
- Выполняем преобразование
При a>3 обычно корней шесть; четыре остаются лишь при a−3=25 или a+3=25, то есть a=22 или a=28.
- Выполняем преобразование
При a≤−3 четырёх корней нет.
Ответ: (−3; 3) ∪ {22; 28}