ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Сначала отдельно проверьте x=1, затем делите.

При делении равенства на x−1 учитывайте знак выражения внутри модуля.

Считайте различные корни: совпадение двух формул даёт один корень.

1. Выделяем корень, который нельзя потерять

   x²−4x+3=(x−1)(x−3). При x=1 обе части исходного уравнения равны нулю при любом a. Корень x=1 учитываем отдельно.

2. Разбираем область x>1

   Здесь |x−1|=x−1>0. После деления на x−1 получаем |x−3|=a. Если a<0, корней в этой области нет. При a=0 есть один корень x=3. При a>0 кандидаты x=3−a и x=3+a.

3. Проверяем кандидатов справа от 1

   Для a>0 корень 3+a всегда больше 1. Корень 3−a больше 1 только при a<2. При a=2 он совпадает с уже учтённым x=1 и нового различного корня не даёт. При a>2 он не принадлежит области x>1.

4. Разбираем область x<1

   Теперь |x−1|=1−x=−(x−1). Деление на отрицательное x−1 даёт −|x−3|=a. При x<1 имеем |x−3|=3−x, поэтому x−3=a и x=a+3. Он лежит левее 1 тогда и только тогда, когда a<−2.

5. Считаем все различные корни

   При a<−2: корни a+3 и 1, всего 2. При −2≤a<0: только 1, всего 1. При a=0: 1 и 3, всего 2. При 0<a<2: 1, 3−a, 3+a, всего 3. При a≥2: 1 и 3+a, всего 2.

6. Проверяем границы и записываем ответ

   При a=−2 кандидат a+3=1 уже совпал с постоянным корнем, второго нет. При a=2 остаются два различных корня 1 и 5. Поэтому a∈(−∞;−2)∪{0}∪[2;+∞). Все области по x и по a рассмотрены.

Ответ: a∈(−∞; −2)∪{0}∪[2; +∞)

4

Даны полный разбор по x и a, точный подсчёт различных корней и итоговое множество с верными границами.

3

Полный метод и все области рассмотрены; ошибочно включено или исключено одно граничное значение параметра.

2

Постоянный корень сохранён и обе области x<1, x>1 сведены к верным условиям, но итоговая классификация неполна.

1

Постоянный корень сохранён и для одной из областей x<1 или x>1 полностью и верно найдены корни и условия их существования.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.