ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Найдите функцию, обратную к y = e^x − a. Что стоит в правой части уравнения?

Для возрастающей функции график и график обратной пересекаются только на прямой y = x.

1. Находим обратную функцию

   Пусть f(x) = e^x − a. Она возрастает на всей прямой. Из y = e^x − a получаем x = ln(y + a), значит, f⁻¹(x) = ln(x + a), и уравнение имеет вид f(x) = f⁻¹(x).

2. Доказываем, что f(x) = f⁻¹(x) ⇔ f(x) = x

   Пусть x — корень и y = f(x) = f⁻¹(x). Из y = f⁻¹(x) следует f(y) = x. Если y > x, то по возрастанию f(y) > f(x), то есть x > y — противоречие; так же невозможно y < x. Значит, y = x и f(x) = x. Обратно, если f(x) = x, то f⁻¹(x) = x.

3. Получаем уравнение без логарифма

   e^x − a = x, то есть a = e^x − x. ОДЗ x + a > 0 выполнено автоматически: x + a = e^x > 0. Осталось сосчитать корни уравнения h(x) = a, где h(x) = e^x − x.

4. Исследуем h(x) = e^x − x

   h′(x) = e^x − 1: отрицательна при x < 0 и положительна при x > 0, наименьшее значение h(0) = 1. При x → +∞ h → +∞ (e^x растёт быстрее x), при x → −∞ h → +∞ (e^x → 0, −x → +∞). Поэтому при a < 1 корней нет, при a = 1 один корень x = 0, при a > 1 — ровно два (по одному на каждом промежутке монотонности).

5. Записываем ответ

   Ответ: a ∈ (1; +∞). Например, при a = 2: h(−2) ≈ 2,14 > 2, h(−1) ≈ 1,37 < 2, h(1) ≈ 1,72 < 2, h(2) ≈ 5,39 > 2 — корни в (−2; −1) и в (1; 2). Типичная ошибка — потерять отрицательный корень или включить a = 1, где корень x = 0 единственный.

Ответ: a ∈ (1; +∞)

4

Обоснованно получен ответ a ∈ (1; +∞): показано, что ln(x + a) — обратная к e^x − a, доказан переход f(x) = f⁻¹(x) ⇔ f(x) = x, с помощью производной исследована h(x) = e^x − x и учтено поведение на бесконечности.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, [1; +∞) с лишним значением a = 1, где корень один.

2

Верно найдена граничная точка a = 1 (наименьшее значение e^x − x), но число корней при a > 1 не обосновано или подсчитано неверно.

1

Задача верно сведена к уравнению e^x − x = a (обоснован переход через обратную функцию), либо верно найдено наименьшее значение h(x) = e^x − x.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.