Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x³−12x=a имеет ровно два различных действительных корня.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 12: Исследуйте кубическую функцию f(x)=x³−3px с помощью производной.
Шаг 2 для варианта 12: Два различных корня возникают, когда горизонтальная прямая проходит через локальный максимум или минимум при x=±2.
Показать ответ
−16; 16
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Исследуйте кубическую функцию f(x)=x³−3px с помощью производной. Два различных корня возникают, когда горизонтальная прямая проходит через локальный максимум или минимум при x=±2.
- Выполняем преобразование
Для f(x)=x³−12x имеем f′(x)=3(x²−4).
- Выполняем преобразование
Критические точки x=−2 и x=2; значения функции в них равны 16 и −16.
- Выполняем преобразование
Если a лежит строго между ними, корней три; вне отрезка — один.
- Выполняем преобразование
При a=±16 касательная горизонтальна: один корень двойной и ещё один простой, то есть различных корней ровно два.
Ответ: −16; 16