ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Сгруппируйте слагаемые выражения xy − 2x − 3y + 6 и вынесите общий множитель.

Какие части полученных прямых остаются после учёта области определения радикала?

1. Раскладываем первое уравнение

   xy − 2x − 3y + 6 = x(y − 2) − 3(y − 2) = (x − 3)(y − 2). Радикал определён при x ≥ −1. Произведение равно нулю, если x = −1 (радикал равен нулю, первый множитель определён при любом y) или x ≥ −1 и (x = 3 или y = 2). Множество — прямая x = −1, прямая x = 3 и луч y = 2, x ≥ −1, с началом D(−1; 2).

2. Пересечения с вертикальными прямыми

   Прямая y = ax проходит через O(0; 0) с угловым коэффициентом a. С прямой x = −1 она пересекается всегда в точке K(−1; −a), с прямой x = 3 — в точке L(3; 3a). Это две разные точки, поэтому решений не меньше двух.

3. Пересечение с лучом

   ax = 2 при a ≠ 0 даёт x = 2/a; точка лежит на луче при 2/a ≥ −1, то есть при a > 0 или a ≤ −2. При a = 0 прямая y = 0 параллельна лучу, при −2 < a < 0 она пересекает прямую y = 2 левее x = −1, вне луча.

4. Учитываем совпадения

   Точка на луче совпадает с K, если 2/a = −1, то есть a = −2 (обе — точка D(−1; 2)); совпадает с L, если 2/a = 3, то есть a = 2/3 (точка (3; 2)). Итог: a < −2 — 3 решения; a = −2 — 2; −2 < a ≤ 0 — 2; 0 < a < 2/3 — 3; a = 2/3 — 2; a > 2/3 — 3.

5. Записываем ответ

   Ровно два решения при −2 ≤ a ≤ 0 и a = 2/3. Ответ: a ∈ [−2; 0]; a = 2/3. Типичные ошибки — считать y = 2 целой прямой (тогда при −2 < a < 0 получится три решения) или забыть, что x = −1 даёт решения при любом y, потому что там радикал равен нулю.

Ответ: a ∈ [−2; 0]; a = 2/3

4

Обоснованно получен ответ a ∈ [−2; 0]; a = 2/3: выполнено разложение (x − 3)(y − 2), учтены ОДЗ x ≥ −1 и нуль радикала (вся прямая x = −1), пересечения пучка y = ax с прямыми и лучом найдены, совпадения точек при a = −2 и a = 2/3 учтены.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, потеряно a = 2/3 или a = −2, либо не включено a = 0.

2

С помощью верного рассуждения найдены все граничные значения −2, 0 и 2/3, но число решений на промежутках определено неверно (например, луч y = 2 принят за всю прямую).

1

Первое уравнение верно сведено к объединению прямых x = −1, x = 3 и луча y = 2 (x ≥ −1) и задача сведена к исследованию пучка y = ax, ИЛИ верно найдена хотя бы одна граничная точка.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.