Условие
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (2^x + x³ − a)·√(4 − x²) = 0 имеет ровно три различных корня.
Подсказка
Начните с области определения: при каких x существует √(4 − x²)?
Сколько корней может иметь уравнение 2^x + x³ = a, если функция слева возрастает? Сравните его с ±2.
Показать ответ
a ∈ (−31/4; 12)
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ и условие равенства нулю
Корень определён при 4 − x² ≥ 0, то есть x ∈ [−2; 2]. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл; здесь оба множителя определены на всём [−2; 2].
- Корни второго множителя
√(4 − x²) = 0 при x = −2 и x = 2. Эти два корня есть при любом a.
- Исследуем g(x) = 2^x + x³ на [−2; 2]
2^x и x³ возрастают, значит, g возрастает и уравнение g(x) = a имеет на отрезке не больше одного корня. g(−2) = 1/4 − 8 = −31/4, g(2) = 4 + 8 = 12. Функция непрерывна, поэтому корень на [−2; 2] есть ровно при −31/4 ≤ a ≤ 12.
- Считаем различные корни
При −31/4 < a < 12 корень g(x) = a лежит строго внутри (−2; 2) и отличается от ±2 — всего три корня. При a = −31/4 корень x = −2 совпадает с корнем второго множителя, при a = 12 совпадает x = 2 — различных корней два. При остальных a корней два: ±2.
- Записываем ответ
Ответ: a ∈ (−31/4; 12). Типичная ошибка — не учесть ОДЗ и считать корни 2^x + x³ = a на всей прямой (тогда кажется, что три корня при любом a, кроме граничных), или включить концы −31/4 и 12.
Ответ: a ∈ (−31/4; 12)
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Обоснованно получен ответ a ∈ (−31/4; 12): учтена ОДЗ [−2; 2], найдены корни ±2, доказано возрастание g(x) = 2^x + x³, вычислены g(−2) = −31/4 и g(2) = 12, разобрано совпадение корней при граничных a.
- 3
- С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, [−31/4; 12] (не учтено совпадение корня с x = −2 или x = 2).
- 2
- Найдены обе граничные точки −31/4 и 12, но ответ неверен: например, не учтена ОДЗ при подсчёте или перепутаны промежутки с двумя и тремя корнями.
- 1
- Верно учтена ОДЗ и найдены корни x = ±2, задача сведена к исследованию уравнения 2^x + x³ = a на отрезке [−2; 2], либо верно найдена одна граничная точка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.