ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Возведите t = sin x + cos x в квадрат — как выразить через t произведение sin x·cos x?

Запишите t = √2·sin(x + π/4) и посмотрите, какую дугу пробегает x + π/4 при x ∈ [0; π].

1. Делаем замену

   Пусть t = sin x + cos x. Тогда t² = sin² x + 2sin x·cos x + cos² x = 1 + 2sin x·cos x, то есть 2sin x·cos x = t² − 1. Уравнение: t² + t − 1 = a.

2. Сколько x на [0; π] даёт одно t

   t = √2·sin(x + π/4), где x + π/4 ∈ [π/4; 5π/4]. Значение t = √2 достигается один раз (x = π/4); t ∈ [1; √2) — дважды (t = 1 при x = 0 и x = π/2); t ∈ [−1; 1) — один раз (t = −1 при x = π); t < −1 и t > √2 не достигаются.

3. Исследуем p(t) = t² + t − 1

   Корни p(t) = a: t = (−1 ± √(5 + 4a))/2. Вершина t = −1/2, p(−1/2) = −5/4; p(−1) = −1, p(0) = −1, p(1) = 1, p(√2) = 2 + √2 − 1 = 1 + √2.

4. Перебираем значения a

   a < −5/4: корней нет. a = −5/4: t = −1/2 — один x. −5/4 < a ≤ −1: t₁ ∈ [−1; −1/2) и t₂ ∈ (−1/2; 0], каждое даёт один x — два корня. −1 < a < 1: t₂ ∈ (0; 1) — один x, t₁ < −1 не годится. a = 1: t₂ = 1 даёт x = 0 и x = π/2, t₁ = −2 не годится — два корня. 1 < a < 1 + √2: t₂ ∈ (1; √2) — два x. a = 1 + √2: t = √2 — один x. a > 1 + √2: корней нет.

5. Записываем ответ и проверяем концы

   Ответ: a ∈ (−5/4; −1] ∪ [1; 1 + √2). Проверка a = −1: t = 0 (x = 3π/4) и t = −1 (x = π) — два корня. Типичная ошибка — считать, что каждое t из [−√2; √2] даёт два x, как на всей окружности, и получить неверные промежутки.

Ответ: a ∈ (−5/4; −1] ∪ [1; 1 + √2)

4

Обоснованно получен ответ a ∈ (−5/4; −1] ∪ [1; 1 + √2): выполнена замена t = sin x + cos x, найдено, сколько x на [0; π] даёт каждое t, исследована p(t) = t² + t − 1, проверены a = −5/4, −1, 1, 1 + √2.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, потеряно a = −1 или a = 1, либо включено a = −5/4 или a = 1 + √2.

2

С помощью верного рассуждения найдены все граничные точки −5/4, −1, 1 и 1 + √2, но ответ неверен из-за ошибки в подсчёте корней x для некоторых t.

1

Задача верно сведена к уравнению t² + t − 1 = a с указанием множества значений t на [0; π], либо верно найдена хотя бы одна граничная точка.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.