ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Дополните x² + 2x·cos(ax) до полного квадрата. Что останется?

Когда сумма двух квадратов равна нулю? Какие значения может принять cos(ax), если sin(ax) = 0?

1. Выделяем полный квадрат

   Прибавим и вычтем cos²(ax): x² + 2x·cos(ax) + cos²(ax) + 1 − cos²(ax) = (x + cos(ax))² + sin²(ax). Уравнение: (x + cos(ax))² + sin²(ax) = 0.

2. Используем неотрицательность квадратов

   Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю, только если оба равны нулю: sin(ax) = 0 и x = −cos(ax).

3. Находим возможные x

   При sin(ax) = 0 косинус равен ±1 (sin² + cos² = 1), поэтому x = −cos(ax) равно 1 или −1. Других корней ни при каком a быть не может.

4. Разбираем два случая

   x = 1: нужно cos a = −1 (тогда и sin a = 0), то есть a = π + 2πn, n ∈ Z. x = −1: нужно cos(−a) = cos a = 1, то есть a = 2πn, n ∈ Z. Объединение двух серий — все целые кратные π: a = πk, k ∈ Z.

5. Проверяем и записываем ответ

   a = π, x = 1: 1 + 2·cos π + 1 = 1 − 2 + 1 = 0. a = 0, x = −1: 1 − 2 + 1 = 0. При a, не кратных π, sin a ≠ 0 и sin(−a) ≠ 0, корней нет. Ответ: a = πk, k ∈ Z. Типичная ошибка — разобрать только x = −1 и получить лишь a = 2πn.

Ответ: a = πk, k ∈ Z

4

Обоснованно получен ответ a = πk, k ∈ Z: левая часть записана как (x + cos ax)² + sin² ax, выведено sin(ax) = 0 и x = −cos(ax) = ±1, разобраны оба случая x = 1 и x = −1, серии объединены.

3

Верно получены обе серии a = π + 2πn и a = 2πn, но ответ отличается от верного конечным числом значений (например, без обоснования исключено a = 0).

2

Верно найдено, что корнем может быть только x = 1 или x = −1, но разобран лишь один случай и получена одна серия (a = 2πn или a = π + 2πn).

1

Выделен полный квадрат и задача сведена к системе sin(ax) = 0, x = −cos(ax), либо верно найдено хотя бы одно подходящее значение a с проверкой.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.