ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Возведите левую часть в квадрат и выделите полный квадрат: какая фигура получится и какая её часть нужна?

Все прямые правой части проходят через одну и ту же точку; найдите, когда прямая проходит через концы полуокружности и когда касается её.

1. Переходим к графикам

   Левая часть y = √(8 + 2x − x²) ≥ 0, и y² = 8 + 2x − x² = 9 − (x − 1)², то есть (x − 1)² + y² = 9 при y ≥ 0. Это верхняя полуокружность ω с центром C(1; 0) и радиусом 3, её концы A(−2; 0) и B(4; 0), верхняя точка T(1; 3). Правая часть y = a(x + 4) + 3 — прямая, которая при любом a проходит через P(−4; 3) и имеет угловой коэффициент a (пучок прямых). Каждой общей точке соответствует свой корень x, поэтому число корней равно числу общих точек прямой и ω.

2. Находим особые положения прямой

   Через A: 0 = a·(−2 + 4) + 3, a = −3/2. Через B: 0 = 8a + 3, a = −3/8. Касание окружности: расстояние от C(1; 0) до прямой ax − y + 4a + 3 = 0 равно 3: |5a + 3| = 3√(a² + 1), 25a² + 30a + 9 = 9a² + 9, 16a² + 30a = 0, a = 0 или a = −15/8. При a = 0 прямая y = 3 касается ω в точке T(1; 3). При a = −15/8 для x ≥ −2 имеем y ≤ (−15/8)·2 + 3 = −3/4 < 0, значит, касание происходит с нижней половиной окружности — для уравнения это положение не особое.

3. Считаем корни при a ≥ −3/8

   При a > 0 и x ≥ −2 получаем a(x + 4) + 3 > 3 ≥ √(8 + 2x − x²): корней нет. При a = 0 один корень x = 1. При −3/8 ≤ a < 0 имеем 16a² + 30a < 0, то есть расстояние от C до прямой меньше 3, и прямая пересекает окружность в двух точках; на отрезке [−2; 4] прямая не опускается ниже значения 8a + 3 ≥ 0, поэтому обе точки лежат на ω — два корня (при a = −3/8 это x = 4 и x = −92/73).

4. Считаем корни при a < −3/8

   При −3/2 < a < −3/8 на концах диаметра 2a + 3 > 0 и 8a + 3 < 0: прямая пересекает диаметр AB во внутренней точке круга, поэтому две её общие точки с окружностью лежат по разные стороны от AB, и на ω ровно одна — один корень. При a = −3/2 прямая y = −3x/2 − 3 проходит через A, а при x > −2 идёт ниже оси Ox: один корень x = −2. При a < −3/2 для всех x ≥ −2 правая часть отрицательна: корней нет.

5. Записываем ответ и проверяем границы

   Ровно один корень: −3/2 ≤ a < −3/8 и a = 0. Граница −3/2 включена (корень x = −2), −3/8 исключена (два корня). Типичные ошибки — потерять a = 0 (касание в верхней точке T) или добавить a = −15/8, не заметив, что это касание с нижней половиной окружности.

Ответ: a ∈ [−3/2; −3/8); a = 0

4

Обоснованно получен ответ a ∈ [−3/2; −3/8); a = 0: построены полуокружность (x − 1)² + y² = 9, y ≥ 0, и пучок прямых через P(−4; 3), найдены положения через A(−2; 0), B(4; 0) и касание y = 3, отброшено касание при a = −15/8, на каждом промежутке обосновано число корней.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, потеряно a = 0, включено a = −3/8 (там два корня) или a = −15/8, либо исключено a = −3/2.

2

С помощью верного рассуждения найдены все граничные точки −3/2, −3/8 и 0 (прохождение через концы диаметра и касание в вершине), но число корней на промежутках между ними определено неверно или не обосновано.

1

Задача верно сведена к исследованию общих точек верхней полуокружности с центром (1; 0) радиуса 3 и прямых y = a(x + 4) + 3, проходящих через точку (−4; 3), ИЛИ верно найдена хотя бы одна граничная точка.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.