ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

При каких x определены оба корня? Что будет, если заменить x на 6 − x?

Возведите f(x) в квадрат: от чего зависит, возрастает f или убывает?

1. Записываем ОДЗ и замечаем симметрию

   x + 1 ≥ 0 и 7 − x ≥ 0: x ∈ [−1; 7]. Пусть f(x) = √(x + 1) + √(7 − x). Тогда f(6 − x) = √(7 − x) + √(x + 1) = f(x): график симметричен относительно прямой x = 3, середины отрезка.

2. Исследуем монотонность через квадрат

   f > 0 и f² = (x + 1) + (7 − x) + 2√((x + 1)(7 − x)) = 8 + 2√(16 − (x − 3)²). На [−1; 3] (x − 3)² убывает, значит, f² и f возрастают; на [3; 7] f убывает.

3. Находим наименьшее и наибольшее значения

   f(3) = 2 + 2 = 4 — наибольшее. На концах f(−1) = f(7) = √8 = 2√2 — наименьшее. Множество значений f — отрезок [2√2; 4].

4. Считаем корни

   При 2√2 ≤ a < 4 на [−1; 3) и на (3; 7] по одному корню (по непрерывности и монотонности) — два корня; при a = 2√2 это концы x = −1 и x = 7. При a = 4 один корень x = 3. При остальных a корней нет.

5. Записываем ответ

   Ответ: a ∈ [2√2; 4). Проверка a = 2√2: f(−1) = 0 + √8 = 2√2 и f(7) = √8 + 0 = 2√2 — два корня, точка входит. Типичная ошибка — исключить a = 2√2, решив, что на концах ОДЗ корней быть не может.

Ответ: a ∈ [2√2; 4)

4

Обоснованно получен ответ a ∈ [2√2; 4): найдена ОДЗ [−1; 7], доказаны симметрия относительно x = 3 и монотонность f на [−1; 3] и [3; 7], найдены f(3) = 4 и f(−1) = f(7) = 2√2, разобраны оба граничных случая.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, (2√2; 4) без a = 2√2 или [2√2; 4] с лишним a = 4.

2

Найдены обе граничные точки 2√2 и 4 (наименьшее и наибольшее значения f), но ответ неверен — перепутаны случаи одного и двух корней.

1

Найдена ОДЗ и задача сведена к исследованию множества значений и монотонности f(x) = √(x + 1) + √(7 − x), либо верно найдена одна граничная точка.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.