ЕГЭ, задание 18: Задача с параметром

Где лежит центр окружности при разных a и какие стороны квадрата параллельны, а какие перпендикулярны пути центра?

Отдельно проверьте положения, при которых окружность проходит через вершины квадрата или касается его сторон.

1. Строим обе фигуры

   |x| + |y| = 2 — квадрат с вершинами (2; 0), (0; 2), (−2; 0), (0; −2); его стороны лежат на прямых x + y = 2 (I четверть), y − x = 2 (II), x + y = −2 (III), x − y = 2 (IV). Первое уравнение — окружность радиуса 2 с центром Q(a; a) на прямой y = x. Решения системы — общие точки. Замена (x; y) → (−x; −y) переводит систему с параметром a в систему с параметром −a, поэтому число решений при a и −a одинаково; исследуем a ≥ 0.

2. Стороны II и IV, параллельные прямой y = x

   Подставим y = x − 2: (x − a)² + (x − 2 − a)² = 4 даёт x = a + 2 или x = a, точки (a + 2; a) и (a; a − 2). Они лежат на стороне IV (x ≥ 0, y ≤ 0) при −2 ≤ a ≤ 0 и при 0 ≤ a ≤ 2 соответственно. Симметрично сторона II даёт (a − 2; a) при 0 ≤ a ≤ 2 и (a; a + 2) при −2 ≤ a ≤ 0. Итого при 0 < a ≤ 2 эти стороны дают две точки (a; a − 2) и (a − 2; a), при a = 0 — четыре вершины, при a > 2 — ни одной.

3. Стороны I и III, перпендикулярные прямой y = x

   Расстояние от Q до прямой x + y = 2 равно √2·|a − 1|, основание перпендикуляра — точка (1; 1). Точки пересечения (1 + t; 1 − t) и (1 − t; 1 + t), где t² = 2 − (a − 1)²; они лежат на стороне I при t² ≤ 1. Значит, сторона I даёт две точки при (a − 1)² < 2 и (a − 1)² ≥ 1, то есть при 1 − √2 < a ≤ 0 или 2 ≤ a < 1 + √2, и одну (касание в (1; 1)) при a = 1 ± √2. Аналогично сторона III даёт две точки при 0 ≤ a < √2 − 1 и касание в (−1; −1) при a = √2 − 1.

4. Складываем, не считая вершины дважды

   a = 0: четыре вершины — 4 решения. 0 < a < √2 − 1: 2 + 2 = 4. a = √2 − 1: 2 + 1 = 3. √2 − 1 < a < 2: только (a; a − 2) и (a − 2; a) — 2. a = 2: стороны I, II, IV дают одни и те же вершины (2; 0) и (0; 2) — 2 решения. 2 < a < 1 + √2: две точки на стороне I — 2. a = 1 + √2: касание — 1. a > 1 + √2: решений нет.

5. Записываем ответ с учётом симметрии

   При a ≥ 0 ровно два решения при √2 − 1 < a < 1 + √2; по симметрии при a < 0 — при −1 − √2 < a < 1 − √2. Ответ: a ∈ (−1 − √2; 1 − √2) ∪ (√2 − 1; 1 + √2). Типичная ошибка — при a = 2 сосчитать вершины (2; 0) и (0; 2) дважды (как точки двух сторон) и исключить a = ±2, или забыть касание при a = √2 − 1 и включить его.

Ответ: a ∈ (−1 − √2; 1 − √2) ∪ (√2 − 1; 1 + √2)

4

Обоснованно получен ответ a ∈ (−1 − √2; 1 − √2) ∪ (√2 − 1; 1 + √2): найдены точки пересечения со всеми четырьмя сторонами квадрата, учтены касания при a = ±1 ± √2 и совпадение точек в вершинах при a = 0 и a = ±2, использована (или проверена) симметрия a → −a.

3

С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, исключены a = ±2 из-за двойного счёта вершин или включены точки касания a = ±(√2 − 1).

2

С помощью верного рассуждения найдены все граничные точки ±(√2 − 1) и ±(1 + √2) (касания сторон x + y = ±2), но промежутки с двумя решениями определены неверно или не для всех знаков a.

1

Задача верно сведена к исследованию общих точек окружности радиуса 2 с центром (a; a) на прямой y = x и квадрата |x| + |y| = 2, ИЛИ верно найдена хотя бы одна граничная точка (например, касание при a = 1 + √2).

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.