Условие
Множество точек плоскости задано уравнением (x + ay − 5)(x + ay − 5a) = 0. При каких значениях параметра a это множество имеет с окружностью x² + y² = 16 ровно четыре общие точки?
Подсказка
На какие две прямые распадается первое уравнение и как они расположены друг относительно друга?
Сравните расстояние от центра окружности до каждой прямой с радиусом; отдельно проверьте, не совпадают ли прямые.
Показать ответ
a ∈ (−4/3; −3/4) ∪ (3/4; 1) ∪ (1; 4/3)
Пошаговое решение
- Разбираем первое уравнение
Произведение равно нулю ⟺ x + ay = 5 (прямая l₁) или x + ay = 5a (прямая l₂). У обеих прямых нормальный вектор (1; a), значит, они параллельны; совпадают при 5 = 5a, то есть a = 1. Прямая l₁ при любом a проходит через (5; 0), прямая l₂ — через (0; 5). Второе уравнение — окружность с центром O и радиусом 4.
- Прямая l₁ и окружность
Расстояние от O до l₁ равно 5/√(1 + a²). Две общие точки при 5/√(1 + a²) < 4 ⟺ 25 < 16 + 16a² ⟺ a² > 9/16, то есть |a| > 3/4; одна (касание) при |a| = 3/4; ни одной при |a| < 3/4.
- Прямая l₂ и окружность
Расстояние от O до l₂ равно 5|a|/√(1 + a²). Две общие точки при 25a² < 16 + 16a² ⟺ a² < 16/9, то есть |a| < 4/3; одна при |a| = 4/3; ни одной при |a| > 4/3.
- Складываем общие точки
Различные параллельные прямые общих точек не имеют, поэтому точки на двух прямых складываются. |a| < 3/4: 0 + 2 = 2; |a| = 3/4: 1 + 2 = 3; 3/4 < |a| < 4/3: 2 + 2 = 4, кроме a = 1, где l₁ и l₂ — одна прямая x + y = 5 (расстояние 5/√2 < 4) и общих точек только две; |a| = 4/3: 2 + 1 = 3; |a| > 4/3: 2 + 0 = 2.
- Записываем ответ
Ровно четыре общие точки при 3/4 < |a| < 4/3 и a ≠ 1. Ответ: a ∈ (−4/3; −3/4) ∪ (3/4; 1) ∪ (1; 4/3). Типичная ошибка — не заметить совпадения прямых при a = 1; проверка: при a = 1 множество — прямая x + y = 5, и вместе с x² + y² = 16 это только две точки.
Ответ: a ∈ (−4/3; −3/4) ∪ (3/4; 1) ∪ (1; 4/3)
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Обоснованно получен ответ a ∈ (−4/3; −3/4) ∪ (3/4; 1) ∪ (1; 4/3): первое уравнение сведено к двум параллельным прямым, для каждой найдено число общих точек с окружностью (|a| > 3/4 и |a| < 4/3), учтено совпадение прямых при a = 1 (тогда общих точек две).
- 3
- С помощью верного рассуждения получено множество, отличающееся от верного конечным числом точек: например, не исключено a = 1 или включены значения касания ±3/4, ±4/3.
- 2
- С помощью верного рассуждения найдены все граничные точки ±3/4, ±4/3 и 1, но промежутки с четырьмя общими точками составлены неверно (например, только для a > 0).
- 1
- Задача верно сведена к исследованию общих точек окружности x² + y² = 16 с прямыми x + ay = 5 и x + ay = 5a, ИЛИ верно найдена хотя бы одна граничная точка (например, |a| = 3/4).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.