Условие
Из набора натуральных чисел 1, 2, 3, …, n вычеркнули одно число. а) Может ли при n=16 среднее арифметическое оставшихся чисел быть равным 8,6? б) Может ли при n=16 среднее арифметическое оставшихся чисел быть равным 9,6? в) Известно, что среднее арифметическое оставшихся чисел равно 35/4. Найдите n и вычеркнутое число.
Подсказка
Между какими значениями может находиться среднее оставшихся, если вычеркнуть самое маленькое или самое большое число?
Сумма оставшихся чисел — целое число; что это даёт для произведения (n − 1) на среднее?
Показать ответ
а) да, например вычеркнули 7; б) нет; в) n = 17, вычеркнули 13
Пошаговое решение
- Записываем сумму оставшихся чисел
Сумма 1 + 2 + … + n=n(n + 1)/2. Если вычеркнули число x (1 ≤ x ≤ n), осталось n − 1 чисел с суммой n(n + 1)/2 − x, их среднее равно (n(n + 1)/2 − x)/(n − 1).
- Пункт а
При n=16 сумма равна 136, осталось 15 чисел. Среднее 8,6 означает сумму 15·8,6=129, значит, x=136 − 129=7 — такое число в наборе есть. Проверка: (136 − 7)/15=129/15=8,6. Ответ: да.
- Пункт б
Среднее 9,6 требует суммы 15·9,6=144, но сумма оставшихся не больше 136 − 1=135 (вычеркнули хотя бы единицу). Значит, среднее не больше 135/15=9<9,6. Ответ: нет.
- Пункт в: оценка n
Среднее наименьшее, когда вычеркнули n: (n(n + 1)/2 − n)/(n − 1)=n/2, и наибольшее, когда вычеркнули 1: (n(n + 1)/2 − 1)/(n − 1)=(n + 2)/2. Поэтому n/2 ≤ 35/4 ≤ (n + 2)/2, то есть 15,5 ≤ n ≤ 17,5, и n=16 или n=17.
- Пункт в: выбор n, вычеркнутое число и типичная ошибка
Сумма оставшихся (n − 1)·35/4 — целое число, поэтому n − 1 делится на 4: n=16 не подходит (15·35/4 не целое), остаётся n=17. Тогда сумма оставшихся 16·35/4=140, а x=17·18/2 − 140=153 − 140=13. Типичная ошибка — найти только n из неравенства и не проверить делимость, получив два ответа.
Ответ: а) да, например вычеркнули 7; б) нет; в) n = 17, вычеркнули 13
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: (1) в п. а найдено вычеркнутое число 7 с проверкой (136 − 7)/15=8,6; (2) в п. б доказано, что среднее не больше 135/15=9, поэтому 9,6 невозможно; (3) в п. в получена оценка n/2 ≤ 35/4 ≤ (n + 2)/2, то есть n=16 или n=17; (4) в п. в обоснован выбор n=17 по целочисленности суммы и найдено вычеркнутое число 13.
- 3
- Верно получены три результата из четырёх: (1) в п. а найдено вычеркнутое число 7 с проверкой (136 − 7)/15=8,6; (2) в п. б доказано, что среднее не больше 135/15=9, поэтому 9,6 невозможно; (3) в п. в получена оценка n/2 ≤ 35/4 ≤ (n + 2)/2, то есть n=16 или n=17; (4) в п. в обоснован выбор n=17 по целочисленности суммы и найдено вычеркнутое число 13.
- 2
- Верно получены два результата из четырёх: (1) в п. а найдено вычеркнутое число 7 с проверкой (136 − 7)/15=8,6; (2) в п. б доказано, что среднее не больше 135/15=9, поэтому 9,6 невозможно; (3) в п. в получена оценка n/2 ≤ 35/4 ≤ (n + 2)/2, то есть n=16 или n=17; (4) в п. в обоснован выбор n=17 по целочисленности суммы и найдено вычеркнутое число 13.
- 1
- Верно получен один результат из четырёх: (1) в п. а найдено вычеркнутое число 7 с проверкой (136 − 7)/15=8,6; (2) в п. б доказано, что среднее не больше 135/15=9, поэтому 9,6 невозможно; (3) в п. в получена оценка n/2 ≤ 35/4 ≤ (n + 2)/2, то есть n=16 или n=17; (4) в п. в обоснован выбор n=17 по целочисленности суммы и найдено вычеркнутое число 13.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.