Условие
В двух группах вместе 20 учеников, каждый из них набрал за тест натуральное число баллов. Одного ученика перевели из первой группы во вторую, после чего средний балл в каждой из групп вырос на 20%. а) Могло ли в первой группе первоначально быть 3 ученика? б) Мог ли первоначальный средний балл первой группы быть меньше первоначального среднего балла второй? в) Какое наибольшее количество учеников могло быть в первой группе первоначально?
Подсказка
Как меняется среднее, если убрать из группы число меньше среднего? А если добавить число больше среднего?
Запишите сумму баллов первой группы до и после перевода и выразите балл переведённого ученика.
Показать ответ
а) да, например в первой группе 23, 46, 46 баллов, во второй 17 раз по 5, переводят 23; б) нет; в) 5
Пошаговое решение
- Обозначения и уравнения
Пусть в первой группе a учеников со средним u, во второй b=20 − a учеников со средним v, переведённый ученик набрал x баллов. Тогда au − x=(a − 1)·1,2u, откуда x=u(6 − a)/5, и bv + x=(b + 1)·1,2v, откуда x=v(6 + b)/5.
- Пункт а: пример
a=3, b=17. Первая группа: 23, 46, 46 (сумма 115, среднее 115/3), вторая: 17 учеников по 5 баллов. Переводим ученика с 23 баллами. Первая группа: 92/2=46=1,2·115/3. Вторая: (85 + 23)/18=6=1,2·5. Оба средних выросли на 20%. Ответ: да.
- Пункт б
Средний балл первой группы вырос после ухода ученика, значит, x меньше прежнего среднего: x<u. Средний балл второй вырос после прихода, значит, x>v. Поэтому v<x<u, и первоначальный средний балл первой группы обязательно больше. Ответ: нет.
- Пункт в: оценка
Из x=u(6 − a)/5 и x>0 (баллы натуральные) получаем 6 − a>0, то есть a ≤ 5. При a=6 и больше уход одного ученика не может поднять средний балл первой группы на 20%.
- Пункт в: пример и типичная ошибка
a=5, b=15: первая группа 7, 42, 42, 42, 42 (сумма 175, среднее 35), во второй 10 учеников по 2 балла и 5 учеников по 1 баллу (сумма 25, среднее 5/3). Переводим ученика с 7 баллами: первая группа 168/4=42=1,2·35, вторая (25 + 7)/16=2=1,2·(5/3). Типичная ошибка — считать, что средний балл обязан уменьшиться хотя бы в одной группе.
Ответ: а) да, например в первой группе 23, 46, 46 баллов, во второй 17 раз по 5, переводят 23; б) нет; в) 5
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: (1) в п. а приведён пример с 3 учениками в первой группе и проверкой роста обоих средних на 20%; (2) в п. б доказано, что v<x<u, то есть первая группа изначально сильнее; (3) в п. в получена оценка a ≤ 5 из равенства x=u(6 − a)/5 и x>0; (4) в п. в приведён пример с 5 учениками в первой группе (например, 7, 42, 42, 42, 42; во второй 10 по 2 и 5 по 1).
- 3
- Верно получены три результата из четырёх: (1) в п. а приведён пример с 3 учениками в первой группе и проверкой роста обоих средних на 20%; (2) в п. б доказано, что v<x<u, то есть первая группа изначально сильнее; (3) в п. в получена оценка a ≤ 5 из равенства x=u(6 − a)/5 и x>0; (4) в п. в приведён пример с 5 учениками в первой группе (например, 7, 42, 42, 42, 42; во второй 10 по 2 и 5 по 1).
- 2
- Верно получены два результата из четырёх: (1) в п. а приведён пример с 3 учениками в первой группе и проверкой роста обоих средних на 20%; (2) в п. б доказано, что v<x<u, то есть первая группа изначально сильнее; (3) в п. в получена оценка a ≤ 5 из равенства x=u(6 − a)/5 и x>0; (4) в п. в приведён пример с 5 учениками в первой группе (например, 7, 42, 42, 42, 42; во второй 10 по 2 и 5 по 1).
- 1
- Верно получен один результат из четырёх: (1) в п. а приведён пример с 3 учениками в первой группе и проверкой роста обоих средних на 20%; (2) в п. б доказано, что v<x<u, то есть первая группа изначально сильнее; (3) в п. в получена оценка a ≤ 5 из равенства x=u(6 − a)/5 и x>0; (4) в п. в приведён пример с 5 учениками в первой группе (например, 7, 42, 42, 42, 42; во второй 10 по 2 и 5 по 1).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.