Условие
Даны десять чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, записанных на доске. За один ход выбирают два числа x и y, стирают их и записывают одно число xy + x + y. а) Может ли после нескольких ходов на доске оказаться число 23? б) Может ли после нескольких ходов на доске оказаться число 100? в) Какое наибольшее число может быть записано на доске после ровно трёх ходов?
Подсказка
Прибавьте 1 к выражению xy + x + y и разложите результат на множители.
Сколько ходов нужно, чтобы в одном числе «собрались» m исходных чисел?
Показать ответ
а) да, например 1, 2 → 5, затем 5, 3 → 23; б) нет; в) 7919
Пошаговое решение
- Замечаем разложение
xy + x + y + 1 = (x + 1)(y + 1). Поэтому удобно следить не за числами, а за числами, увеличенными на 1: ход просто перемножает два таких значения.
- Пункт а: пример
Из чисел 1 и 2 получаем 1·2 + 1 + 2 = 5, из 5 и 3 — 15 + 5 + 3 = 23 (действительно, 23 + 1 = 2·3·4). Ответ — да.
- Доказываем общее свойство
Каждое число z на доске получено из некоторой группы исходных чисел, и z + 1 равно произведению (x + 1) по этой группе. Для исходных чисел это верно (группа из одного числа), а ход объединяет две непересекающиеся группы и перемножает их произведения. Сомножители x + 1 — это числа от 2 до 11.
- Пункт б
Если на доске число 100, то 101 — произведение нескольких различных сомножителей из 2, 3, …, 11. Но 101 — простое число, больше 11, такого произведения нет. Ответ — нет.
- Пункт в: оценка, пример и типичная ошибка
Группа из m исходных чисел требует m − 1 ходов, поэтому за 3 хода в группе не больше 4 чисел, и z + 1 ≤ 8·9·10·11 = 7920, z ≤ 7919. Пример: из 7 и 8 получаем 56 + 15 = 71, из 71 и 9 — 639 + 80 = 719, из 719 и 10 — 7190 + 729 = 7919. Типичная ошибка — перемножать сами числа (7·8·9·10 = 5040) и забыть, что перемножаются значения x + 1, то есть 8, 9, 10 и 11.
Ответ: а) да, например 1, 2 → 5, затем 5, 3 → 23; б) нет; в) 7919
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: цепочка ходов, дающая 23 (п. а); доказательство через свойство «z + 1 — произведение (x + 1) по группе» и простоту 101, что 100 появиться не может (п. б); оценка z ≤ 8·9·10·11 − 1 = 7919 (п. в); пример трёх ходов, дающих 7919 (п. в).
- 3
- Верно получены три результата из четырёх: например, пункты а и б и пример 7919, но не обосновано, что за три хода в одну группу попадает не больше четырёх исходных чисел.
- 2
- Верно получены два результата из четырёх: например, найден пример для п. а и доказан п. б через разложение (x + 1)(y + 1), а п. в не решён.
- 1
- Верно получен один результат из четырёх: например, только пример ходов, дающих 23, или только замечено разложение без доведения хотя бы одного пункта.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.