Условие
Каждую из цифр 0, 1, 2, 3 используют ровно один раз для записи натурального числа (ноль не может стоять первым). а) Сколько полученных чисел делится на 11? б) Найдите наименьшее из них. в) Найдите наибольшее из них.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 7: Используйте признак делимости на 11: разность сумм цифр на нечётных и чётных позициях кратна 11.
Шаг 2 для варианта 7: Сначала распределите цифры между позициями двух типов, затем учтите перестановки внутри типов и запрет ведущего нуля.
Показать ответ
а) 6; б) 1023; в) 3201
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Используйте признак делимости на 11: разность сумм цифр на нечётных и чётных позициях кратна 11. Сначала распределите цифры между позициями двух типов, затем учтите перестановки внутри типов и запрет ведущего нуля.
- Выполняем преобразование
По признаку 11 разность сумм цифр на нечётных и чётных позициях должна быть равна 0 или ±11.
- Выполняем преобразование
Перебираем не все числа, а только разбиения заданного набора цифр между двумя группами позиций; внутри каждой допустимой группы переставляем цифры и исключаем ведущий ноль.
- Выполняем преобразование
Получается 6 чисел.
- Выполняем преобразование
Их упорядочивание даёт минимальное 1023 и максимальное 3201.
- Выполняем преобразование
Прямая проверка обоих крайних чисел по признаку 11 подтверждает делимость.
Ответ: а) 6; б) 1023; в) 3201