Условие
Натуральные a<b удовлетворяют НОД(a,b)=2 и НОК(a,b)=210. а) Сколько существует неупорядоченных пар {a,b}? б) Найдите наименьшее значение a+b. в) Укажите пару, на которой достигается минимум.
Подсказка
Шаг 1 для варианта 5: Положите a=2x, b=2y. Тогда xy=105 и НОД(x,y)=1.
Шаг 2 для варианта 5: Каждый простой множитель произведения целиком относится либо к x, либо к y; для минимума выберите ближайшие множители.
Показать ответ
а) 4; б) 44; в) 14 и 30
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Положите a=2x, b=2y. Тогда xy=105 и НОД(x,y)=1. Каждый простой множитель произведения целиком относится либо к x, либо к y; для минимума выберите ближайшие множители.
- Выполняем преобразование
Пишем a=2x, b=2y, где НОД(x,y)=1.
- Выполняем преобразование
Из формулы ab=НОД·НОК следует xy=105=3·5·7.
- Получаем следующий результат
Каждый простой множитель целиком выбирается для x или y. С учётом неупорядоченности получаем 2³/2=4 пары.
- Выполняем преобразование
Минимальную сумму дают ближайшие взаимно простые множители 7 и 15; поэтому a+b=2(7+15)=44.
- Выполняем преобразование
Пара: 14 и 30.
Ответ: а) 4; б) 44; в) 14 и 30