Условие
Ученик готовился к экзамену 11 дней подряд и каждый день решал хотя бы одну задачу. Оказалось, что за любые три дня подряд он решил в сумме не более 30 задач. а) Мог ли ученик за все 11 дней решить ровно 115 задач? б) Могло ли случиться, что за какие-то два дня подряд ученик решил вместе 30 задач? в) Какое наибольшее число задач мог решить ученик за все 11 дней?
Подсказка
Разбейте 11 дней на группы подряд идущих дней так, чтобы к каждой группе можно было применить условие.
Сколько задач можно решить за два соседних дня, если хотя бы одна задача решается каждый день?
Показать ответ
а) да, например 1, 28, 1, 1, 28, 1, 1, 24, 1, 1, 28; б) нет; в) 119
Пошаговое решение
- Пункт а: пример
По дням: 1, 28, 1, 1, 28, 1, 1, 24, 1, 1, 28. Суммы трёх подряд: 30, 30, 30, 30, 30, 26, 26, 26, 30 — не больше 30. Всего 28·3 + 24 + 7·1 = 84 + 24 + 7 = 115. Ответ — да.
- Пункт б
Два соседних дня вместе с ещё одним соседним днём (предыдущим или следующим — среди 11 дней такой есть) образуют три дня подряд. В этот третий день решена хотя бы одна задача, поэтому за два дня решено не больше 30 − 1 = 29 задач. Ответ — нет.
- Пункт в: оценка
Разобьём 11 дней на группы: дни 1–3, 4–6, 7–9 (по три дня подряд, не больше 30 задач в каждой) и дни 10–11 (по п. б не больше 29). Всего не больше 30 + 30 + 30 + 29 = 119 задач.
- Пункт в: пример
1, 28, 1, 1, 28, 1, 1, 28, 1, 1, 28: любая тройка подряд содержит одно число 28 и два числа 1, её сумма ровно 30. Всего 4·28 + 7·1 = 112 + 7 = 119.
- Записываем ответ и типичная ошибка
Наибольшее число задач — 119. Типичные ошибки — ответ 120 (оценка «по 30 на каждые три дня» применена к 12 дням, а не к 11) или ответ 110 «по 10 задач в день» без попытки увеличить сумму.
Ответ: а) да, например 1, 28, 1, 1, 28, 1, 1, 24, 1, 1, 28; б) нет; в) 119
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: пример с суммой 115 (п. а); доказательство, что за два соседних дня решено не больше 29 задач (п. б); оценка «не больше 119» разбиением на три тройки дней и пару (п. в); пример 1, 28, 1, 1, 28, 1, 1, 28, 1, 1, 28 (п. в).
- 3
- Верно получены три результата из четырёх: например, пункты а и б и пример с суммой 119, но оценка не обоснована (не объяснено, почему последние два дня дают не больше 29).
- 2
- Верно получены два результата из четырёх: например, приведён пример для п. а и решён п. б, а в п. в ответ неверный (например, 120).
- 1
- Верно получен один результат из четырёх: например, только верный пример для п. а или только обоснование п. б.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.