ЕГЭ, задание 19: Числа и их свойства

Сравните чётность чисел d и d².

Что происходит с суммой квадратов, если одну цифру уменьшить на 1, а другую, не меньшую, увеличить на 1?

1. Пункт а: пример

   Число 25 788: сумма цифр 2 + 5 + 7 + 8 + 8 = 30, сумма квадратов 4 + 25 + 49 + 64 + 64 = 206. Ответ: да.

2. Пункт б: чётность

   Число d² имеет ту же чётность, что и d (d² − d = d(d − 1) — произведение соседних чисел). Значит, сумма квадратов цифр той же чётности, что сумма цифр 30, то есть чётна. 135 нечётно. Ответ: нет.

3. Пункт в: «раздвигаем» цифры

   Пусть есть две цифры x ≤ y, обе от 1 до 8. Заменим их на x − 1 и y + 1: сумма цифр не изменится, а сумма квадратов изменится на (x − 1)² + (y + 1)² − x² − y² = 2(y − x) + 2 > 0. Значит, при наибольшей сумме квадратов не более одной цифры отлично от 0 и 9.

4. Пункт в: оценка

   Тогда цифры — несколько девяток, нули и одна цифра r от 0 до 8: 9m + r = 30, откуда m = 3, r = 3. Сумма квадратов не больше 3·81 + 9 = 252.

5. Пример и проверка

   Число 3999: сумма цифр 30, сумма квадратов 9 + 81 + 81 + 81 = 252 — оценка достигается. Типичная ошибка — считать, что для наибольшей суммы квадратов нужно больше цифр или цифры поровну (например, 6, 6, 6, 6, 6 дают только 180).

Ответ: а) да, например 25788; б) нет; в) 252

4

Верно получены все четыре результата: (1) обоснованно решён пункт а — пример числа 25 788 с проверкой суммы цифр и суммы квадратов; (2) обоснованно решён пункт б — доказано, что сумма квадратов цифр имеет ту же чётность, что и сумма цифр; (3) в пункте в доказана оценка — доказано, что сумма квадратов не больше 252 (замена пары цифр увеличивает сумму квадратов); (4) в пункте в приведён пример, на котором оценка достигается, — число 3999.

3

Верно получены три результата из четырёх. Например, решены пункты а и б и в пункте в приведён пример (число 3999), но оценка не доказана или доказана с пробелом; либо пункт в решён полностью, а один из пунктов а, б не обоснован.

2

Верно получены два результата из четырёх. Например, обоснованно решены только пункты а и б (пример числа 25 788 с проверкой суммы цифр и суммы квадратов; доказано, что сумма квадратов цифр имеет ту же чётность, что и сумма цифр), а в пункте в нет ни доказанной оценки, ни примера; либо в пункте в есть и оценка, и пример, а пункты а и б не решены.

1

Верно получен один результат из четырёх. Например, только обоснованно решён пункт а (пример числа 25 788 с проверкой суммы цифр и суммы квадратов), либо только приведён верный пример в пункте в (число 3999) без оценки, а остальные пункты не решены или решены неверно.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.