Условие
В коробке лежат 29 шаров: 10 красных, 8 синих, 6 зелёных и 5 белых. Шары вынимают из коробки не глядя. а) Можно ли вынуть 20 шаров так, чтобы среди них не оказалось ни одного шара какого-то из четырёх цветов? б) Можно ли вынуть 25 шаров так, чтобы среди них не оказалось ни одного шара какого-то из четырёх цветов? в) Какое наименьшее число шаров нужно вынуть, чтобы среди них обязательно нашлись два цвета, шаров каждого из которых вынуто не меньше 4?
Подсказка
Постройте самую «неудачную» выборку: какие шары нужно брать, чтобы как можно дольше не выполнить условие?
Если не хватает какого-то цвета, то сколько шаров максимум можно взять из остальных цветов?
Показать ответ
а) да, например 10 красных, 8 синих и 2 зелёных; б) нет; в) 20
Пошаговое решение
- Пункт а: пример
Вынем 10 красных, 8 синих и 2 зелёных шара — всего 20, и белого среди них нет. Ответ — да.
- Пункт б
Если среди вынутых нет шаров какого-то цвета, то все они из трёх остальных цветов, а таких шаров не больше 29 − 5 = 24 (больше всего шаров остаётся, если отсутствует самый малочисленный, белый, цвет). Но вынуто 25 > 24 шаров, поэтому шары всех четырёх цветов обязательно есть. Ответ — нет.
- Пункт в: 19 шаров недостаточно
Возьмём 10 красных и по 3 синих, зелёных и белых — 19 шаров. Не меньше 4 шаров только у красного цвета, второго такого цвета нет. Значит, 19 шаров (и тем более меньше: достаточно убрать из этого набора лишние шары) не гарантируют нужного.
- Пункт в: 20 шаров достаточно
Пусть вынуто 20 шаров, но цветов, у которых не меньше 4 шаров, не больше одного. Тогда у трёх других цветов не больше чем по 3 шара — вместе не больше 9, а у оставшегося цвета не больше 10 (самый многочисленный цвет — красный). Всего не больше 10 + 9 = 19 < 20 — противоречие. Значит, 20 шаров хватает.
- Записываем ответ и типичная ошибка
Наименьшее число — 20. Типичная ошибка — ответ 4·3 + 1 = 13 по «обычному» Дирихле: так гарантируется лишь один цвет с 4 шарами, а в наихудшем случае один цвет может быть вынут целиком (10 красных).
Ответ: а) да, например 10 красных, 8 синих и 2 зелёных; б) нет; в) 20
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: пример 20 шаров без белого (п. а); обоснование, что без одного цвета можно взять не более 24 шаров (п. б); оценка «20 шаров достаточно» от противного (п. в); пример 19 шаров (10 красных и по 3 остальных), показывающий, что меньше нельзя (п. в).
- 3
- Верно получены три результата из четырёх: например, пункты а и б и пример 19 «плохих» шаров, но не доказано, что 20 шаров всегда достаточно.
- 2
- Верно получены два результата из четырёх: например, верно решены пункты а и б, а в п. в дан неверный ответ (например, 13) без учёта того, что красный цвет можно вынуть целиком.
- 1
- Верно получен один результат из четырёх: например, только пример 20 шаров без белого в п. а или только обоснование п. б через 29 − 5 = 24.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.