Условие
Несократимую дробь a/b (a и b — натуральные числа) изменили: к её числителю и к её знаменателю прибавили по 1. а) Может ли новая дробь оказаться больше исходной в 9/8 раза? б) Может ли новая дробь оказаться больше исходной в 6/5 раза? в) Новая дробь оказалась больше исходной в 16/15 раза. Найдите наименьшее возможное значение исходной дроби.
Подсказка
Запишите условие как равенство произведений и выразите b через a: количество возможных a окажется конечным.
Не забудьте, что исходная дробь несократима: дробь 2/4 — это та же дробь 1/2.
Показать ответ
а) да, например 2/3; б) нет; в) 5/8
Пошаговое решение
- Составляем уравнение
Условие (a + 1)/(b + 1) = (p/q)·(a/b) равносильно qb(a + 1) = pa(b + 1). Новая дробь больше исходной только при b > a, поэтому исходная дробь правильная.
- Пункт а: пример
При p/q = 9/8: 8b(a + 1) = 9a(b + 1), 8b = ab + 9a, b(8 − a) = 9a. При a = 2 получаем b = 18/6 = 3. Проверка: 2/3 → 3/4, (3/4) : (2/3) = 9/8. Дробь 2/3 несократима — пример подходит.
- Пункт б: перебираем все решения
При 6/5: 5b(a + 1) = 6a(b + 1), b(5 − a) = 6a, поэтому a ≤ 4. a = 1: b = 6/4 — не целое; a = 2: b = 4, дробь 2/4 сократима; a = 3: b = 9, дробь 3/9 сократима; a = 4: b = 24, дробь 4/24 сократима. Несократимых решений нет. Например, 2/4 = 1/2, и для 1/2 получится 2/3, отношение 4/3, а не 6/5. Ответ: нет.
- Пункт в: находим все несократимые дроби
15b(a + 1) = 16a(b + 1) даёт b(15 − a) = 16a, a ≤ 14, b = 16a/(15 − a). Целые b получаются при a = 3 (b = 4), 5 (8), 7 (14), 9 (24), 10 (32), 11 (44), 12 (64), 13 (104), 14 (224). Несократимы только 3/4 и 5/8: в остальных a и b имеют общий множитель (7/14, 9/24, 10/32, 11/44, 12/64, 13/104, 14/224).
- Выбираем наименьшую и проверяем
Из 3/4 и 5/8 меньше 5/8. Проверка: 5/8 → 6/9 = 2/3, (2/3) : (5/8) = 16/15. Типичная ошибка — забыть про несократимость и ответить 14/224 = 1/16: для дроби 1/16 новая дробь 2/17 больше в 32/17 раза, а не в 16/15.
Ответ: а) да, например 2/3; б) нет; в) 5/8
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: (1) обоснованно решён пункт а — пример дроби 2/3 с проверкой отношения 9/8; (2) обоснованно решён пункт б — разобраны все a от 1 до 4 и показано, что целые решения дают сократимые дроби; (3) в пункте в доказана оценка — найдены все решения уравнения b(15 − a) = 16a и отобраны несократимые 3/4 и 5/8; (4) в пункте в приведён пример, на котором оценка достигается, — дробь 5/8 с проверкой отношения 16/15.
- 3
- Верно получены три результата из четырёх. Например, решены пункты а и б и в пункте в приведён пример (дробь 5/8 с проверкой отношения 16/15), но оценка не доказана или доказана с пробелом; либо пункт в решён полностью, а один из пунктов а, б не обоснован.
- 2
- Верно получены два результата из четырёх. Например, обоснованно решены только пункты а и б (пример дроби 2/3 с проверкой отношения 9/8; разобраны все a от 1 до 4 и показано, что целые решения дают сократимые дроби), а в пункте в нет ни доказанной оценки, ни примера; либо в пункте в есть и оценка, и пример, а пункты а и б не решены.
- 1
- Верно получен один результат из четырёх. Например, только обоснованно решён пункт а (пример дроби 2/3 с проверкой отношения 9/8), либо только приведён верный пример в пункте в (дробь 5/8 с проверкой отношения 16/15) без оценки, а остальные пункты не решены или решены неверно.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.