Условие
Для натуральных чисел a, b и c рассматривают НОД(a, b), НОД(b, c) и НОД(a, c). а) Существуют ли такие a, b, c, что НОД(a, b) = 2, НОД(b, c) = 3 и НОД(a, c) = 5? б) Существуют ли такие a, b, c, что НОД(a, b) = 6, НОД(b, c) = 10 и НОД(a, c) = 15? в) Известно, что НОД(a, b) = 2, НОД(b, c) = 3, НОД(a, c) = 5 и каждое из чисел a, b, c больше 20. Найдите наименьшее возможное значение суммы a + b + c.
Подсказка
Если два из попарных НОД делятся на одно и то же простое число, что можно сказать о третьем?
В пункте в положите a = 10x, b = 6y, c = 15z и выясните, какие условия наложены на x, y, z.
Показать ответ
а) да, например a=10, b=6, c=15; б) нет; в) 119
Пошаговое решение
- Пункт а: пример
Возьмём a = 10, b = 6, c = 15: НОД(10, 6) = 2, НОД(6, 15) = 3, НОД(10, 15) = 5. Ответ: да.
- Пункт б: доказываем невозможность
Из НОД(a, b) = 6 следует, что a чётно. Из НОД(b, c) = 10 следует, что c чётно. Тогда 2 делит НОД(a, c) = 15 — противоречие. Ответ: нет.
- Пункт в: делаем замену
a делится на 2 и 5, b — на 2 и 3, c — на 3 и 5: a = 10x, b = 6y, c = 15z. НОД(10x, 6y) = 2·НОД(5x, 3y) = 2 ⇔ НОД(5x, 3y) = 1; аналогично НОД(2y, 5z) = 1 и НОД(2x, 3z) = 1. Это значит: x, y, z попарно взаимно просты, x не делится на 3, y не делится на 5, z нечётно.
- Пункт в: оценка
Из a, b, c > 20: x ≥ 3, но x не делится на 3, значит, x ≥ 4; y ≥ 4; z ≥ 2 и z нечётно, значит, z ≥ 3. Если x = 4, то y нечётно, y ≥ 4 и y не делится на 5, то есть y ≥ 7, и сумма ≥ 40 + 42 + 45 = 127. Если x ≥ 7 или z ≥ 5, то сумма ≥ 70 + 24 + 45 = 139 или ≥ 40 + 24 + 75 = 139. Остаётся x = 5: сумма ≥ 50 + 24 + 45 = 119.
- Пример и проверка
x = 5, y = 4, z = 3: a = 50, b = 24, c = 45; НОД(50, 24) = 2, НОД(24, 45) = 3, НОД(50, 45) = 5, сумма 119. Типичная ошибка — взять наименьшие кратные 30, 24, 45 или 40, 24, 45: у них лишние общие делители (НОД(30, 24) = 6, НОД(40, 24) = 8).
Ответ: а) да, например a=10, b=6, c=15; б) нет; в) 119
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: (1) обоснованно решён пункт а — пример a = 10, b = 6, c = 15 с проверкой трёх НОД; (2) обоснованно решён пункт б — доказано противоречие: a и c чётны, а НОД(a, c) = 15 нечётен; (3) в пункте в доказана оценка — после замены a = 10x, b = 6y, c = 15z доказано, что сумма не меньше 119; (4) в пункте в приведён пример, на котором оценка достигается, — a = 50, b = 24, c = 45 с проверкой НОД.
- 3
- Верно получены три результата из четырёх. Например, решены пункты а и б и в пункте в приведён пример (a = 50, b = 24, c = 45 с проверкой НОД), но оценка не доказана или доказана с пробелом; либо пункт в решён полностью, а один из пунктов а, б не обоснован.
- 2
- Верно получены два результата из четырёх. Например, обоснованно решены только пункты а и б (пример a = 10, b = 6, c = 15 с проверкой трёх НОД; доказано противоречие: a и c чётны, а НОД(a, c) = 15 нечётен), а в пункте в нет ни доказанной оценки, ни примера; либо в пункте в есть и оценка, и пример, а пункты а и б не решены.
- 1
- Верно получен один результат из четырёх. Например, только обоснованно решён пункт а (пример a = 10, b = 6, c = 15 с проверкой трёх НОД), либо только приведён верный пример в пункте в (a = 50, b = 24, c = 45 с проверкой НОД) без оценки, а остальные пункты не решены или решены неверно.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.