Условие
Последовательность натуральных чисел a₁, a₂, …, aₙ такова, что a₁ = 1, а каждый следующий член больше предыдущего либо на 1, либо на 3. а) Может ли сумма членов такой последовательности при n = 8 равняться 60? б) Может ли сумма членов такой последовательности при n = 8 равняться 61? в) Найдите наибольшее n, при котором сумма всех членов последовательности может равняться 236.
Подсказка
Какой чётности шаги 1 и 3 и как от этого зависит чётность членов последовательности?
Найдите наименьшую возможную сумму n членов: какой должна быть последовательность?
Показать ответ
а) да, например 1, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12; б) нет; в) 20
Пошаговое решение
- Пункт а: пример
Последовательность 1, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12: шаги 3, 1, 3, 1, 1, 1, 1 — разрешённые. Сумма 1 + 4 + 5 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 60. Ответ — да.
- Замечаем чередование чётности
Оба шага 1 и 3 нечётны, поэтому соседние члены разной чётности: a₁ = 1 нечётно, a₂ чётно, a₃ нечётно и т. д. Члены с нечётными номерами нечётны, с чётными — чётны. Чётность суммы определяется числом нечётных членов, то есть только числом n.
- Пункт б
При n = 8 нечётных членов четыре (номера 1, 3, 5, 7), их сумма чётна, а чётные члены чётность не меняют. Поэтому сумма всегда чётна и 61 быть не может. Ответ — нет.
- Пункт в: оценка
Каждый шаг не меньше 1, поэтому aₖ ≥ k и сумма не меньше 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2. При n ≥ 22 это не меньше 22·23/2 = 253 > 236. При n = 21 нечётных членов 11 — нечётное число, и сумма нечётна, а 236 чётно. Значит, n ≤ 20.
- Пункт в: пример и типичная ошибка
1, 2, …, 7, затем шаг 3 и дальше шаги 1: 10, 11, …, 22. Членов 7 + 13 = 20, сумма 28 + (10 + 22)·13/2 = 28 + 208 = 236. Типичная ошибка — ответ 21 по одной оценке 21·22/2 = 231 ≤ 236 без проверки чётности.
Ответ: а) да, например 1, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12; б) нет; в) 20
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: пример с суммой 60 (п. а); доказательство через чередование чётности членов, что сумма при n = 8 чётна (п. б); оценка n ≤ 20 с отсечением n = 21 по чётности и n ≥ 22 по сумме ≥ 253 (п. в); пример последовательности из 20 членов с суммой 236 (п. в).
- 3
- Верно получены три результата из четырёх: например, пункты а и б и пример из 20 членов, но в оценке не исключён случай n = 21 (или оценка не доведена).
- 2
- Верно получены два результата из четырёх: например, приведён пример для п. а и доказана чётность суммы в п. б, а в п. в ответ не обоснован.
- 1
- Верно получен один результат из четырёх: например, только пример последовательности 1, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12 с суммой 60 или только верное решение п. б.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.