Условие
Члены конечной возрастающей арифметической прогрессии — натуральные числа, сумма всех её членов равна 280. а) Может ли прогрессия состоять из 7 членов? б) Может ли прогрессия состоять из 20 членов? в) Какое наибольшее число членов может быть в такой прогрессии?
Подсказка
Запишите сумму прогрессии через a, d и n и избавьтесь от дроби. Какому условию делимости должно удовлетворять n?
Оцените выражение 2a + (n − 1)d снизу, учитывая, что a и d — натуральные.
Показать ответ
а) да, например 1, 14, 27, 40, 53, 66, 79; б) нет; в) 16
Пошаговое решение
- Записываем условие
Пусть первый член a, разность d, число членов n; a и d — натуральные (прогрессия возрастает и состоит из натуральных чисел). Сумма n(2a + (n − 1)d)/2 = 280, то есть n(2a + (n − 1)d) = 560.
- Пункт а
При n = 7: 2a + 6d = 80, a + 3d = 40. Подходит a = 1, d = 13: прогрессия 1, 14, 27, 40, 53, 66, 79, её сумма 7·(1 + 79)/2 = 280. Ответ — да.
- Пункт б
При n = 20: 2a + 19d = 28. Если d = 1, то 2a = 9 — a не целое; если d ≥ 2, то 2a + 19d ≥ 2 + 38 = 40 > 28. Решений нет, ответ — нет.
- Пункт в: оценка
Так как a ≥ 1 и d ≥ 1, то 2a + (n − 1)d ≥ n + 1, и n(n + 1) ≤ 560. Но 23·24 = 552, 24·25 = 600, значит, n ≤ 23. Кроме того, n — делитель числа 560 = 2⁴·5·7. Из чисел 17, 18, …, 23 делителем является только 20, а длина 20 невозможна по п. б. Следовательно, n ≤ 16.
- Пункт в: пример и типичная ошибка
При n = 16: 2a + 15d = 35, подходит d = 1, a = 10. Прогрессия 10, 11, …, 25, сумма 16·(10 + 25)/2 = 280. Типичные ошибки — ответ 23 (забыто, что n делит 560) или 20 (не проверено, что 2a + 19d = 28 не имеет натуральных решений).
Ответ: а) да, например 1, 14, 27, 40, 53, 66, 79; б) нет; в) 16
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: пример прогрессии из 7 членов с суммой 280 (п. а); доказательство, что уравнение 2a + 19d = 28 не имеет натуральных решений (п. б); оценка n ≤ 16 через n(n + 1) ≤ 560 и делимость 560 на n (п. в); пример прогрессии 10, 11, …, 25 (п. в).
- 3
- Верно получены три результата из четырёх: например, пункты а и б и пример из 16 членов, но в оценке не рассмотрены длины 17–23 (не использовано, что n делит 560).
- 2
- Верно получены два результата из четырёх: например, приведён пример для п. а и обоснован п. б, а наибольшее число членов не найдено или найдено без обоснования.
- 1
- Верно получен один результат из четырёх: например, только пример прогрессии 1, 14, 27, 40, 53, 66, 79 или только пример 10, 11, …, 25 без оценки.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.