ЕГЭ, задание 19: Числа и их свойства

Докажите, что разность двух разных k-значных чисел из цифр 1 и 2 не делится на 2^k.

Последние пять цифр числа определяют его остаток при делении на 32.

1. Лемма о различных остатках

   Пусть два разных k-значных числа записаны цифрами 1 и 2. Их разность — сумма ε_i·10^i, где каждое ε_i равно −1, 0 или 1. Если j — наименьший номер с ε_j ≠ 0 (j ≤ k − 1), то разность равна 10^j·(±1 + 10t) = 2^j·5^j·(нечётное), она не делится на 2^k. Значит, 2^k таких чисел дают 2^k разных остатков по модулю 2^k, и ровно одно делится на 2^k.

2. Пункт а: пример

   22 112 = 32·691 — пятизначное число из цифр 1 и 2, делящееся на 32. По лемме оно единственное такое. Ответ: да.

3. Пункт б: используем единственность

   Пятизначное число, делящееся на 64, делится и на 32, значит, это 22 112. Но 22 112 = 32·691, а 691 нечётно, поэтому 22 112 на 64 не делится. Ответ: нет.

4. Пункт в: оценка

   Если число из k ≤ 5 цифр делится на 128, то оно делится на 2^k и по лемме совпадает с единственным таким числом: 2, 12, 112, 2112, 22 112. Но 2 = 2·1, 12 = 4·3, 112 = 16·7, 2112 = 64·33, 22 112 = 32·691 — ни одно не делится на 128. Значит, искомое число не меньше чем шестизначное.

5. Пункт в: пример

   Шестизначное число, делящееся на 64, оканчивается пятизначным числом, делящимся на 32 (10^5 делится на 32), то есть имеет вид d·100 000 + 22 112 = 32(3125d + 691). Нужна чётность 3125d + 691, то есть d = 1: 122 112 = 128·954. Это шестизначное число из цифр 1 и 2, делящееся на 128, и оно наименьшее. Типичная ошибка — искать среди семизначных чисел, не проверив шестизначные.

Ответ: а) да, например 22112; б) нет; в) 122112

4

Верно получены все четыре результата: (1) обоснованно решён пункт а — пример 22 112 = 32·691; (2) обоснованно решён пункт б — доказана единственность пятизначного числа, кратного 32, и показано, что оно не делится на 64; (3) в пункте в доказана оценка — доказано, что числа из не более чем пяти цифр 1 и 2 не делятся на 128; (4) в пункте в приведён пример, на котором оценка достигается, — число 122 112 = 128·954.

3

Верно получены три результата из четырёх. Например, решены пункты а и б и в пункте в приведён пример (число 122 112 = 128·954), но оценка не доказана или доказана с пробелом; либо пункт в решён полностью, а один из пунктов а, б не обоснован.

2

Верно получены два результата из четырёх. Например, обоснованно решены только пункты а и б (пример 22 112 = 32·691; доказана единственность пятизначного числа, кратного 32, и показано, что оно не делится на 64), а в пункте в нет ни доказанной оценки, ни примера; либо в пункте в есть и оценка, и пример, а пункты а и б не решены.

1

Верно получен один результат из четырёх. Например, только обоснованно решён пункт а (пример 22 112 = 32·691), либо только приведён верный пример в пункте в (число 122 112 = 128·954) без оценки, а остальные пункты не решены или решены неверно.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.