Условие
В турнире участвовали 8 команд, каждая сыграла с каждой ровно один раз. За победу команда получает 2 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. а) Могли ли все команды набрать разное число очков, если в турнире не было ни одной ничьей? б) Могла ли команда, занявшая последнее место (единственная команда с наименьшим числом очков), набрать 7 очков? в) Какое наибольшее число команд могло набрать не менее 11 очков каждая?
Подсказка
Сколько очков разыгрывается в одном матче и сколько всего матчей в турнире?
Очки сильных команд разделите на полученные в играх между собой и в играх с остальными командами.
Показать ответ
а) да, например в каждом матче побеждает команда с меньшим номером; б) нет; в) 4
Пошаговое решение
- Считаем общее число очков
Всего сыграно 8·7/2 = 28 матчей, и в каждом матче разыгрывается ровно 2 очка (2 + 0 или 1 + 1). Поэтому все команды вместе набрали 28·2 = 56 очков.
- Пункт а: пример
Пронумеруем команды 1, 2, …, 8 и пусть в каждом матче побеждает команда с меньшим номером. Тогда команда 1 выиграла 7 матчей (14 очков), команда 2 — 6 матчей (12 очков), …, команда 8 — 0 очков. Очки 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0 различны, сумма 56. Ответ — да.
- Пункт б: усреднение
Если последняя команда набрала 7 очков, а остальные — больше, то каждая из 7 других набрала не меньше 8 очков, и сумма не меньше 7 + 7·8 = 63 > 56. Противоречие, ответ — нет.
- Пункт в: оценка
Пусть k команд набрали не менее 11 очков каждая. В матчах между собой они сыграли k(k − 1)/2 матчей и разыграли k(k − 1) очков; в матчах с остальными 8 − k командами каждая из них получила не больше 2(8 − k) очков. Значит, 11k ≤ k(k − 1) + 2k(8 − k), откуда 11 ≤ 15 − k, k ≤ 4. Например, для k = 5: 5 команд могут набрать вместе не больше 5·4 + 2·5·3 = 50 < 55 = 5·11 очков.
- Пункт в: пример и типичная ошибка
Четыре команды выигрывают у четырёх остальных (по 8 очков) и все матчи между собой играют вничью (по 3 очка): у каждой из четырёх 8 + 3 = 11 очков. Матчи слабых команд между собой — любые. Типичная ошибка — оценивать только общей суммой: 5·11 = 55 ≤ 56, и кажется, что ответ 5; но сильные команды отбирают очки друг у друга, и пятёрка команд набирает не больше 50 очков.
Ответ: а) да, например в каждом матче побеждает команда с меньшим номером; б) нет; в) 4
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: пример турнира без ничьих с различными очками (п. а); обоснование невозможности 7 очков у последней команды через сумму 56 (п. б); оценка «не более 4 команд» из неравенства 11k ≤ k(k − 1) + 2k(8 − k) (п. в); пример турнира, где 4 команды набрали по 11 очков (п. в).
- 3
- Верно получены три результата из четырёх: например, пункты а и б и пример с четырьмя командами по 11 очков, но оценка k ≤ 4 не обоснована (например, дан ответ 5 по сумме 56 : 11).
- 2
- Верно получены два результата из четырёх: например, приведён пример для п. а и доказано, что последняя команда не могла набрать 7 очков, а пункт в не решён.
- 1
- Верно получен один результат из четырёх: например, только пример турнира без ничьих с очками 14, 12, …, 0 или только верное обоснование п. б через сумму 56.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.