Условие
Рассматривают произведение 4 последовательных положительных целых чисел P=m(m+1)…(m+3). а) Докажите, что P делится на 24. б) Может ли P не делиться на 48? в) Найдите наибольшее положительное число, на которое P делится при любом целом m≥1.
Подсказка
Число способов выбрать 4 элементов из 4+m−1 равно C(m+3,4)=P/4!. Оно целое, поскольку считает конечное множество наборов.
4!=24. Следовательно P=24·C(m+3,4) делится на 24 для любого m≥1.
Показать ответ
а) да; б) да, при m=1; в) 24
Пошаговое решение
- Связываем произведение с подсчётом наборов
Число способов выбрать 4 элементов из 4+m−1 равно C(m+3,4)=P/4!. Оно целое, поскольку считает конечное множество наборов.
- Доказываем делимость
4!=24. Следовательно P=24·C(m+3,4) делится на 24 для любого m≥1.
- Строим пример для пункта б
При m=1 получаем P=1·2·…·4=24; это число не делится на 48.
- Доказываем максимальность
Любой общий делитель всех таких произведений обязан делить и значение при m=1, равное 24. Поэтому он не больше 24; это значение подходит по пункту а.
Ответ: а) да; б) да, при m=1; в) 24