Условие
По кругу записаны n целых чисел, и каждое из них равно сумме двух соседних с ним чисел. а) Может ли при n=12 среди записанных чисел быть число, отличное от нуля? б) Может ли при n=40 среди записанных чисел быть число, отличное от нуля? в) Пусть n=60 и каждое из чисел по модулю не больше 10. Найдите наибольшее возможное значение суммы всех положительных записанных чисел.
Подсказка
Выразите каждое следующее число через два предыдущих и выпишите несколько чисел подряд.
Как связаны числа, стоящие через два места друг от друга?
Показать ответ
а) да, например дважды подряд 1, 2, 1, −1, −2, −1; б) нет; в) 200
Пошаговое решение
- Выясняем, как устроены числа
Обозначим числа подряд x₁, x₂, …. Условие xₖ=xₖ₋₁ + xₖ₊₁ даёт xₖ₊₁=xₖ − xₖ₋₁. Если x₁=a, x₂=b, то дальше b − a, −a, −b, a − b, a, b, … — набор повторяется с периодом 6, а число, стоящее через два места (xₖ₊₃), равно −xₖ.
- Пункт а
При n=12 запишем дважды 1, 2, 1, −1, −2, −1. Проверка: 2=1 + 1, 1=2 + (−1), −1=1 + (−2), −2=−1 + (−1), −1=−2 + 1, 1=−1 + 2 — на стыке круга то же самое. Ответ: да.
- Пункт б
Из xₖ₊₃=−xₖ получаем xₖ₊₆=xₖ. При n=40 двигаемся по кругу шагами по 6: так как НОД(6, 40)=2, xₖ₊₂=xₖ. Тогда x₂=x₄=−x₁ и x₁=x₃=x₂ − x₁=−2x₁, откуда x₁=0, x₂=0, и все числа нули. Ответ: нет.
- Пункт в: оценка
Числа разбиваются на пары (xₖ, xₖ₊₃) противоположных, поэтому сумма положительных равна половине суммы модулей. В каждом блоке из 6 чисел модули — это |a|, |b|, |b − a|, каждый по два раза. Наибольший из модулей равен сумме двух других (так как a + (b − a)=b), поэтому |a| + |b| + |b − a| ≤ 2·10=20, и сумма положительных в блоке не больше 20. Блоков 60/6=10, итого не больше 200.
- Пункт в: пример и типичная ошибка
10 раз подряд 10, 10, 0, −10, −10, 0: каждое равно сумме соседей (10=0 + 10, 10=10 + 0, 0=10 + (−10), −10=0 + (−10), −10=−10 + 0, 0=−10 + 10), сумма положительных 10·20=200. Типичная ошибка — считать, что в блоке может быть три числа по 10 (тогда сумма 300), но из |a|=|b|=10 и |b − a| ≤ 10 следует b − a=0.
Ответ: а) да, например дважды подряд 1, 2, 1, −1, −2, −1; б) нет; в) 200
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: (1) в п. а приведён пример 12 чисел (например, дважды 1, 2, 1, −1, −2, −1) с проверкой условия; (2) в п. б доказано, что при n=40 из xₖ₊₃=−xₖ и периода 6 все числа равны нулю; (3) в п. в получена оценка: сумма положительных в каждом блоке из 6 чисел не больше 20, всего не больше 200; (4) в п. в приведён пример 60 чисел (10, 10, 0, −10, −10, 0 десять раз) с суммой положительных 200.
- 3
- Верно получены три результата из четырёх: (1) в п. а приведён пример 12 чисел (например, дважды 1, 2, 1, −1, −2, −1) с проверкой условия; (2) в п. б доказано, что при n=40 из xₖ₊₃=−xₖ и периода 6 все числа равны нулю; (3) в п. в получена оценка: сумма положительных в каждом блоке из 6 чисел не больше 20, всего не больше 200; (4) в п. в приведён пример 60 чисел (10, 10, 0, −10, −10, 0 десять раз) с суммой положительных 200.
- 2
- Верно получены два результата из четырёх: (1) в п. а приведён пример 12 чисел (например, дважды 1, 2, 1, −1, −2, −1) с проверкой условия; (2) в п. б доказано, что при n=40 из xₖ₊₃=−xₖ и периода 6 все числа равны нулю; (3) в п. в получена оценка: сумма положительных в каждом блоке из 6 чисел не больше 20, всего не больше 200; (4) в п. в приведён пример 60 чисел (10, 10, 0, −10, −10, 0 десять раз) с суммой положительных 200.
- 1
- Верно получен один результат из четырёх: (1) в п. а приведён пример 12 чисел (например, дважды 1, 2, 1, −1, −2, −1) с проверкой условия; (2) в п. б доказано, что при n=40 из xₖ₊₃=−xₖ и периода 6 все числа равны нулю; (3) в п. в получена оценка: сумма положительных в каждом блоке из 6 чисел не больше 20, всего не больше 200; (4) в п. в приведён пример 60 чисел (10, 10, 0, −10, −10, 0 десять раз) с суммой положительных 200.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.