Условие
На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 11. За один ход разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них записать число |a − b|. После 10 таких ходов на доске остаётся одно число. а) Может ли этим числом оказаться 0? б) Может ли этим числом оказаться 11? в) Найдите наибольшее возможное значение оставшегося числа.
Подсказка
Сравните чётность чисел a + b и |a − b|. Что происходит с чётностью суммы всех чисел на доске?
Может ли модуль разности двух неотрицательных чисел оказаться больше большего из них?
Показать ответ
а) да, например сначала пары (2; 3), (4; 5), (6; 7), (8; 9), (10; 11), затем единицы и нули попарно; б) нет; в) 10
Пошаговое решение
- Пункт а: строим пример
Делаем ходы |2 − 3| = 1, |4 − 5| = 1, |6 − 7| = 1, |8 − 9| = 1, |10 − 11| = 1. Вместе с исходной единицей на доске шесть единиц. Затем трижды |1 − 1| = 0 и дважды |0 − 0| = 0. Всего 5 + 3 + 2 = 10 ходов, осталось число 0. Ответ в п. а — да.
- Находим инвариант: чётность суммы чисел
При ходе сумма чисел на доске уменьшается на (a + b) − |a − b| = 2·min(a; b) — на чётное число. Значит, чётность суммы не меняется. Вначале сумма 1 + 2 + … + 11 = 11·12/2 = 66 чётна, поэтому и последнее оставшееся число (оно и есть сумма в конце) чётно.
- Пункт б
Число 11 нечётно, а последнее число обязано быть чётным. Поэтому 11 остаться не может. Ответ — нет.
- Пункт в: оценка
Все числа неотрицательны, и |a − b| ≤ max(a; b), поэтому наибольшее число на доске никогда не увеличивается и в конце не больше 11. Оставшееся число чётно и не больше 11, значит, оно не больше 10.
- Пункт в: пример и типичная ошибка
Ходы: |11 − 9| = 2, |2 − 2| = 0 (с числом 2 на доске), |3 − 4| = 1, |5 − 6| = 1, |7 − 8| = 1, затем из четырёх единиц |1 − 1| = 0 дважды, далее |0 − 0| = 0 дважды (из трёх нулей остаётся один) и |10 − 0| = 10. Ходов 2 + 3 + 2 + 2 + 1 = 10, осталось 10. Типичная ошибка — ответ 11: оценка «не больше наибольшего числа» верна, но забыт инвариант чётности.
Ответ: а) да, например сначала пары (2; 3), (4; 5), (6; 7), (8; 9), (10; 11), затем единицы и нули попарно; б) нет; в) 10
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: пример цепочки из 10 ходов с итогом 0 (п. а); обоснование через инвариант чётности суммы (сумма 66 чётна), что 11 остаться не может (п. б); оценка «не больше 10» (п. в); пример цепочки ходов, оставляющей 10 (п. в).
- 3
- Верно получены три результата из четырёх, перечисленных в критерии на 4 балла: например, пункты а и б и оценка в п. в, но не приведён пример, в котором остаётся 10.
- 2
- Верно получены два результата из четырёх: например, обоснованы пункты а и б (пример с нулём и инвариант чётности суммы), а в п. в нет ни оценки 10, ни примера.
- 1
- Верно получен один результат из четырёх: например, приведён верный пример для п. а или доказано с помощью чётности суммы, что 11 не может остаться.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.