Условие
Рассматриваются представления натуральных чисел в виде суммы квадратов натуральных чисел. а) Можно ли представить число 2026 в виде суммы квадратов трёх натуральных чисел? б) Можно ли представить число 2023 в виде суммы квадратов трёх натуральных чисел? в) Число 2023 представили в виде суммы квадратов нескольких (не обязательно различных) нечётных натуральных чисел. Найдите наименьшее возможное количество слагаемых.
Подсказка
Какие остатки при делении на 8 дают квадраты чётных и нечётных чисел?
Какой остаток при делении на 8 даёт сумма k квадратов нечётных чисел?
Показать ответ
а) да, например 44² + 9² + 3²; б) нет; в) 7
Пошаговое решение
- Остатки квадратов при делении на 8
Если x=2m, то x²=4m², и это число даёт остаток 0 или 4 при делении на 8 (в зависимости от чётности m). Если x=2m + 1, то x²=4m(m + 1) + 1, а m(m + 1) — произведение соседних чисел, оно чётно, поэтому x² ≡ 1 (mod 8). Итак, квадрат даёт остаток 0, 1 или 4, а квадрат нечётного числа — всегда 1.
- Пункт а: пример
44² + 9² + 3²=1936 + 81 + 9=2026. Ответ: да.
- Пункт б: доказываем невозможность
Переберём все наборы из трёх остатков 0, 1, 4 (порядок не важен): 0 + 0 + 0=0, 0 + 0 + 1=1, 0 + 0 + 4=4, 0 + 1 + 1=2, 0 + 1 + 4=5, 0 + 4 + 4=8 ≡ 0, 1 + 1 + 1=3, 1 + 1 + 4=6, 1 + 4 + 4=9 ≡ 1, 4 + 4 + 4=12 ≡ 4. Остатка 7 среди них нет, значит, сумма трёх квадратов никогда не даёт остаток 7 при делении на 8. А 2023=8·252 + 7 даёт остаток 7. Ответ: нет.
- Пункт в: оценка
Каждый квадрат нечётного числа даёт остаток 1 при делении на 8, поэтому сумма k таких квадратов сравнима с k по модулю 8. Значит, k ≡ 2023 ≡ 7 (mod 8), и k ≥ 7.
- Пункт в: пример и типичная ошибка
43² + 11² + 5² + 3² + 3² + 3² + 1²=1849 + 121 + 25 + 9 + 9 + 9 + 1=2023 — семь нечётных слагаемых. Типичная ошибка — ответ 4 «по теореме о четырёх квадратах»: она не требует нечётности слагаемых, а четыре нечётных квадрата дают остаток 4, а не 7.
Ответ: а) да, например 44² + 9² + 3²; б) нет; в) 7
Критерии оценивания (4 балла)
- 4
- Верно получены все четыре результата: (1) обоснованно решён пункт а — пример 2026 = 44² + 9² + 3²; (2) обоснованно решён пункт б — доказано, что квадрат даёт остаток 0, 1 или 4 при делении на 8, а сумма трёх квадратов не даёт остаток 7; (3) в пункте в доказана оценка — доказано, что количество нечётных слагаемых сравнимо с 7 по модулю 8, то есть не меньше 7; (4) в пункте в приведён пример, на котором оценка достигается, — 2023 = 43² + 11² + 5² + 3² + 3² + 3² + 1².
- 3
- Верно получены три результата из четырёх. Например, решены пункты а и б и в пункте в приведён пример (2023 = 43² + 11² + 5² + 3² + 3² + 3² + 1²), но оценка не доказана или доказана с пробелом; либо пункт в решён полностью, а один из пунктов а, б не обоснован.
- 2
- Верно получены два результата из четырёх. Например, обоснованно решены только пункты а и б (пример 2026 = 44² + 9² + 3²; доказано, что квадрат даёт остаток 0, 1 или 4 при делении на 8, а сумма трёх квадратов не даёт остаток 7), а в пункте в нет ни доказанной оценки, ни примера; либо в пункте в есть и оценка, и пример, а пункты а и б не решены.
- 1
- Верно получен один результат из четырёх. Например, только обоснованно решён пункт а (пример 2026 = 44² + 9² + 3²), либо только приведён верный пример в пункте в (2023 = 43² + 11² + 5² + 3² + 3² + 3² + 1²) без оценки, а остальные пункты не решены или решены неверно.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.