ЕГЭ, задание 19: Числа и их свойства

Число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 9: из N = kS следует, что (k − 1)S делится на 9.

Запишите частное как 1 + (99a + 9b)/(a + b + c) и подумайте, какую цифру выгодно сделать наибольшей.

1. Пункт а: подбираем пример

   Нужно N = 40·S, где S — сумма цифр N. Число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому 40S − S = 39S делится на 9, то есть S делится на 3. Пробуем S = 3: N = 120, сумма цифр 1 + 2 + 0 = 3, и 120 : 3 = 40. Значит, частное 40 возможно.

2. Пункт б: доказываем невозможность через остатки по модулю 9

   Пусть N = 83S. Так как N ≡ S (mod 9), число 82S делится на 9, а НОД(82, 9) = 1, значит, S делится на 9. У трёхзначного числа 1 ≤ S ≤ 27, поэтому S равно 9, 18 или 27. S = 9 даёт N = 747 с суммой цифр 18 ≠ 9; S = 18 даёт N = 1494, S = 27 даёт N = 2241 — это не трёхзначные числа. Значит, частное 83 невозможно.

3. Пункт в: преобразуем частное

   Пусть N = 100a + 10b + c, a ≥ 1. Тогда N/S = (100a + 10b + c)/(a + b + c) = 1 + (99a + 9b)/(a + b + c). Числитель дроби положителен, а знаменатель не больше a + b + 9, поэтому N/S ≥ 1 + (99a + 9b)/(a + b + 9) = (100a + 10b + 9)/(a + b + 9).

4. Пункт в: доказываем оценку 199/19

   Проверим, что (100a + 10b + 9)/(a + b + 9) ≥ 199/19. Это равносильно 19(100a + 10b + 9) ≥ 199(a + b + 9), то есть 1900a + 190b + 171 ≥ 199a + 199b + 1791, или 1701a ≥ 9b + 1620. Так как a ≥ 1 и b ≤ 9, левая часть не меньше 1701, а правая не больше 81 + 1620 = 1701. Оценка верна, и равенство возможно только при a = 1, b = 9, c = 9.

5. Пример и проверка ответа

   Для N = 199 сумма цифр 1 + 9 + 9 = 19 и частное равно 199/19 ≈ 10,47 — оценка достигается. Типичная ошибка — считать, что частное наименьшее у числа 999 (999 : 27 = 37) или у 100 (100 : 1 = 100): выгодно уменьшать старшую цифру и увеличивать младшие.

Ответ: а) да, например 120; б) нет; в) 199/19

4

Верно получены все четыре результата: (1) обоснованно решён пункт а — пример 120 с проверкой 120 : 3 = 40; (2) обоснованно решён пункт б — доказано, что S делится на 9, и разобраны значения S = 9, 18, 27; (3) в пункте в доказана оценка — доказано, что частное не меньше 199/19; (4) в пункте в приведён пример, на котором оценка достигается, — число 199, для которого частное равно 199/19.

3

Верно получены три результата из четырёх. Например, решены пункты а и б и в пункте в приведён пример (число 199, для которого частное равно 199/19), но оценка не доказана или доказана с пробелом; либо пункт в решён полностью, а один из пунктов а, б не обоснован.

2

Верно получены два результата из четырёх. Например, обоснованно решены только пункты а и б (пример 120 с проверкой 120 : 3 = 40; доказано, что S делится на 9, и разобраны значения S = 9, 18, 27), а в пункте в нет ни доказанной оценки, ни примера; либо в пункте в есть и оценка, и пример, а пункты а и б не решены.

1

Верно получен один результат из четырёх. Например, только обоснованно решён пункт а (пример 120 с проверкой 120 : 3 = 40), либо только приведён верный пример в пункте в (число 199, для которого частное равно 199/19) без оценки, а остальные пункты не решены или решены неверно.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.