Условие
В треугольнике ABC стороны AB=6 и AC=10, AM — медиана. Найдите скалярное произведение векторов AM и BC.
Подсказка
Выразите векторы AM и BC через векторы AB и AC.
Медиана из вершины A — это половина суммы векторов AB и AC; скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
Показать ответ
32
Пошаговое решение
- Замечаем, что угла не хватает
Угол между AM и BC неизвестен, и найти его по данным нельзя: треугольник не задан полностью. Поэтому выразим оба вектора через векторы AB и AC и перемножим.
- Выражаем медиану
M — середина BC. Достроим треугольник до параллелограмма ABPC: его диагонали делятся пополам, поэтому AB+AC=AP=2·AM. Значит, AM=½(AB+AC).
- Выражаем сторону BC
По правилу треугольника AB+BC=AC, отсюда BC=AC−AB.
- Перемножаем
AM·BC=½(AC+AB)·(AC−AB)=½(AC·AC−AC·AB+AB·AC−AB·AB)=½(|AC|²−|AB|²). Слагаемые −AC·AB и AB·AC взаимно уничтожаются, а скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
- Подставляем числа
AM·BC=½(10²−6²)=½(100−36)=½·64=32. Ответ не зависит от угла A. Типичная ошибка — переставить стороны и получить −32: важно, что BC=AC−AB, а не AB−AC.
Ответ: 32