Условие
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 от одной точки O отложены векторы a, b и c. Найдите площадь треугольника, вершины которого — концы этих векторов.
Подсказка
Стороны треугольника — это разности векторов: b−a и c−a.
Площадь треугольника на векторах (x₁; y₁) и (x₂; y₂) равна ½·|x₁y₂−x₂y₁|.
Показать ответ
15
Пошаговое решение
- Считываем координаты векторов
Все векторы начинаются в точке O. Координаты вектора равны разности координат конца и начала: считаем, на сколько клеток стрелка сдвигается вправо (плюс) или влево (минус) и вверх (плюс) или вниз (минус). Поставим начало отсчёта в левый нижний узел сетки, тогда a=(4−3; 7−3)=(1; 4); b=(8−3; 5−3)=(5; 2); c=(1−3; 1−3)=(−2; −2).
- Находим векторы-стороны треугольника
Обозначим концы векторов A, B, C. Сторона AB — это вектор b−a: вектор из конца a в конец b. AB=b−a=(5−1; 2−4)=(4; −2), AC=c−a=(−2−1; −2−4)=(−3; −6).
- Применяем формулу площади через координаты
Площадь треугольника, построенного на векторах (x₁; y₁) и (x₂; y₂), равна половине модуля x₁·y₂−x₂·y₁: S=½·|4·(−6)−(−3)·(−2)|=½·|−24−6|=½·30=15.
- Проверяем по клеткам
Опишем вокруг треугольника прямоугольник по линиям сетки: 7×6, его площадь 42. Вычтем три прямоугольных треугольника по углам с катетами 4 и 2 (площадь 4), 7 и 4 (площадь 14), 3 и 6 (площадь 9): 42−4−14−9=15 — совпало. Ошибка — забыть множитель ½: без него получится площадь параллелограмма 30.
Ответ: 15