Задание 2 ЕГЭ: Векторы

1. Задача 1Даны векторы a=(2; 1) и b=(-1; 3). Найдите квадрат длины вектора c=2a−b.
2. Задача 2Даны векторы a=(1; 2) и b=(2; 2). Найдите длину вектора a+b.
3. Задача 3Даны векторы a=(3; 1) и b=(1; 2). Найдите скалярное произведение (a+b)·(a−b).
4. Задача 4Даны ненулевые векторы a=(3; 4) и b=(4; 3). Найдите косинус угла между ними.
5. Задача 5Даны векторы a=(3; 1) и b=(1; 2). При каком t вектор a+t·b перпендикулярен b?
6. Задача 6Даны a=(1; 4), b=(2; 2) и c=(1; 0). При каком t вектор a+t·b параллелен c?
7. Задача 7Даны векторы a=(5; 0) и b=(3; 4). Найдите скалярную проекцию вектора a на направление b.
8. Задача 8Векторы OA=(4; 1) и OB=(-1; 5) задают точки A и B. Найдите квадрат длины AB.
9. Задача 9Даны векторы a=(1; 2) и b=(1; 0). Найдите положительное значение t, при котором |a+t·b|²=20.
10. Задача 10Смежные стороны параллелограмма заданы векторами a=(4; 1) и b=(1; 5). Найдите его площадь.
11. Задача 11Даны радиус-векторы OA=(1; 2) и OB=(5; 6). Точка M — середина AB. Найдите OM².
12. Задача 12Даны ненулевые векторы a=(0; 4) и b=(3; 0). Найдите косинус угла между u=a+b и w=a−b.
13. Задача 13На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены векторы a, b, c, d, e и f. Сколько из векторов b, c, d, e, f имеют такую же длину, как вектор a?
14. Задача 14Медианы треугольника ABC пересекаются в точке O, CK — медиана, CK=15. Найдите длину вектора OA+OB.
15. Задача 15В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=7, BC=24, точка M — середина гипотенузы AB. Найдите длину вектора CB+MC+BA.
16. Задача 16В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=9, BC=12. Найдите скалярное произведение векторов AB и AC.
17. Задача 17На клетчатой бумаге с клетками размером 1×1 нарисованы векторы a и b. Найдите угол между векторами a и b. Ответ дайте в градусах.
18. Задача 18На координатной плоскости изображены точки A, B и C (сторона клетки равна 1). Точка D выбрана так, что вектор AD равен вектору BC, то есть ABCD —…
19. Задача 19На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены два вектора a и b (см. рисунок). Найдите скалярное произведение a·b.
20. Задача 20На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены вектор a и четыре вектора, пронумерованные числами 1, 2, 3, 4. Один из пронумерованных векторов…
21. Задача 21На рисунке на клетчатой бумаге (сторона клетки равна 1) изображены векторы a и b. Вектор c=2a−3b. Найдите ординату вектора c.
22. Задача 22На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены три вектора: a, b и c. Найдите длину вектора a+b+c.
23. Задача 23На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисован четырёхугольник ABCD. Найдите скалярное произведение векторов AC и BD, идущих по его диагоналям.
24. Задача 24Основания трапеции ABCD равны AD=13 и BC=7. Найдите длину вектора AC+BD.
25. Задача 25В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны BC, а точка L лежит на стороне CD, причём CL:LD=1:3. Вектор KL разложили по векторам AB и AD: KL=x·AB+y·AD.…
26. Задача 26Векторы a и b таковы, что |a|=6, |b|=2, а угол между ними равен 120°. При каком значении k векторы a+k·b и a−b перпендикулярны?
27. Задача 27Единичные векторы e₁ и e₂ образуют угол 60°. Найдите косинус угла между векторами p=e₁+e₂ и q=e₁−2e₂.
28. Задача 28Даны векторы a и b, для которых |a|=3√2, |b|=5 и |a+b|=√13. Найдите угол между векторами a и b. Ответ дайте в градусах.
29. Задача 29Известно, что |a|=6, |b|=5 и угол между векторами a и b равен 120°. Найдите скалярную проекцию вектора a+b на направление вектора b.
30. Задача 30Треугольник ABC равносторонний, его сторона равна 6. Найдите скалярное произведение векторов AB и AC.
31. Задача 31Векторы a, b и c в сумме дают нулевой вектор: a+b+c=0. Длины векторов: |a|=5, |b|=6, |c|=4. Найдите скалярное произведение a·b.
32. Задача 32В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=17, AC=8. Найдите длину вектора AB−AC.
33. Задача 33Длины векторов a и b равны 4 и 8, угол между векторами a и b равен 120°. Найдите угол между векторами a и a+b. Ответ дайте в градусах.
34. Задача 34Про векторы a и b известно только, что длина их суммы равна 6: |a+b|=6. Какое наибольшее значение может принимать скалярное произведение a·b?
35. Задача 35Сторона ромба ABCD равна 13, диагональ BD равна 24. Найдите длину вектора AB+AD.
36. Задача 36Угол между векторами a и b равен 60°, |b|=6, а скалярное произведение a·(a+b) равно 40. Найдите длину вектора a.
37. Задача 37Даны векторы a=(2;1), b=(1;3), c=(8;9). Известно c=pa+qb. Найдите p+q.
38. Задача 38Векторы a и b, изображённые на клетчатой бумаге с клетками 1×1, коллинеарны: b=k·a для некоторого числа k. Найдите k.
39. Задача 39Сторона квадрата ABCD равна 4. Найдите скалярное произведение векторов AB и CA.
40. Задача 40Даны точки A=(0;0), B=(6;0), C=(0;9). Точка G — точка пересечения медиан ABC. Найдите квадрат длины вектора AG.
41. Задача 41По рисунку на клетчатой бумаге (клетка 1×1) определите векторы a и b. Вектор x удовлетворяет равенству 2x+a=3b. Найдите длину вектора x.
42. Задача 42В треугольнике ABC стороны AB=6 и AC=10, AM — медиана. Найдите скалярное произведение векторов AM и BC.
43. Задача 43Для векторов a и b известно, что |a|=5, |b|=10 и |a+b|=13. Найдите длину вектора a−b.
44. Задача 44Даны векторы a=(3;4) и b=(0;5). Найдите наименьшее значение |b−t·a|² при действительном t.
45. Задача 45На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 от одной точки O отложены векторы a, b и c. Найдите площадь треугольника, вершины которого — концы этих векторов.
46. Задача 46Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 4. Найдите длину вектора AB+AF+AD.
47. Задача 47Вектор a имеет длину 8, вектор b — длину 5; угол между векторами a и b равен 120°. Какова длина вектора a+b?
48. Задача 48Длины векторов a и b равны 2 и 5, а угол между ними равен 120°. Найдите скалярное произведение (2a+b)·(a−3b).

Другие номера: №1 · №3 · №4 · №5 · №6 · №7 · №8 · №9 · №10 · №11 · №12 · №13 · №14 · №15 · №16 · №17 · №18 · №19