Условие
Для векторов a и b известно, что |a|=5, |b|=10 и |a+b|=13. Найдите длину вектора a−b.
Подсказка
Запишите |a+b|² и |a−b|² через |a|², |b|² и a·b.
Сложите два равенства — неизвестное скалярное произведение исчезнет.
Показать ответ
9
Пошаговое решение
- Записываем квадраты длин суммы и разности
|a+b|²=|a|²+2a·b+|b|², |a−b|²=|a|²−2a·b+|b|². Скалярное произведение a·b неизвестно, но в эти формулы оно входит с противоположными знаками.
- Складываем равенства
При сложении слагаемые ±2a·b сокращаются: |a+b|²+|a−b|²=2(|a|²+|b|²). Геометрически: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
- Подставляем данные
13²+|a−b|²=2·(5²+10²), то есть 169+|a−b|²=2·125=250, откуда |a−b|²=250−169=81.
- Извлекаем корень и проверяем
|a−b|=√81=9. Проверка через a·b: из первого равенства 2a·b=169−25−100=44, тогда |a−b|²=125−44=81 — совпало.
Ответ: 9