Условие
Вектор a имеет длину 8, вектор b — длину 5; угол между векторами a и b равен 120°. Какова длина вектора a+b?
Подсказка
Найдите сначала квадрат длины: |a+b|²=(a+b)·(a+b).
Раскройте скалярный квадрат суммы как квадрат суммы чисел и подставьте a·b.
Показать ответ
7
Пошаговое решение
- Переходим к квадрату длины
Длину суммы напрямую сложить нельзя: |a+b| не равно |a|+|b|, если векторы не сонаправлены. Зато квадрат длины — это скалярный квадрат: |a+b|²=(a+b)·(a+b)=|a|²+2a·b+|b|².
- Находим a·b
a·b=|a|·|b|·cos 120°=8·5·(−1/2)=−20.
- Считаем квадрат длины
|a+b|²=8²+2·(−20)+5²=64−40+25=49.
- Извлекаем корень
|a+b|=√49=7. Это то же, что теорема косинусов для треугольника со сторонами 8 и 5: при сложении по правилу треугольника угол между сторонами равен 180°−120°=60°.
Ответ: 7