Условие
Длины векторов a и b равны 2 и 5, а угол между ними равен 120°. Найдите скалярное произведение (2a+b)·(a−3b).
Подсказка
Сначала найдите a·b через длины и косинус угла; помните знак косинуса тупого угла.
Раскройте скобки как в алгебре, заменяя a·a на |a|², а b·b на |b|².
Показать ответ
-42
Пошаговое решение
- Находим скалярное произведение a·b
По определению a·b=|a|·|b|·cos φ. Косинус тупого угла отрицателен: cos 120°=−cos 60°=−1/2. Значит, a·b=2·5·(−1/2)=−5.
- Находим скалярные квадраты
Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины: a·a=|a|²=2²=4, b·b=|b|²=5²=25.
- Раскрываем скобки
Скалярное произведение раскрывается как произведение многочленов, и a·b=b·a: (2a+b)·(a−3b)=2a·a−6a·b+b·a−3b·b=2|a|²−5a·b−3|b|².
- Подставляем числа
2·4−5·(−5)−3·25=8+25−75=−42. Типичная ошибка — считать cos 120° равным 1/2 и потерять минус: тогда a·b было бы 5, и вместо −42 получилось бы −92.
Ответ: -42