Условие
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB=12, AD=5, AA₁=13. Найдите угол между диагональю BD₁ и плоскостью основания ABCD. Ответ дайте в градусах.
Подсказка
Какая точка основания является проекцией вершины D₁?
Найдите диагональ основания BD и сравните её с боковым ребром DD₁.
Показать ответ
45
Пошаговое решение
- Находим проекцию диагонали на основание
Ребро DD₁ перпендикулярно плоскости ABCD, поэтому точка D — проекция точки D₁ на основание, а отрезок BD — проекция диагонали BD₁. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией, то есть угол D₁BD.
- Находим диагональ основания
ABCD — прямоугольник со сторонами AB=12 и AD=5. По теореме Пифагора в треугольнике ABD: BD²=12²+5²=144+25=169, BD=13.
- Рассматриваем треугольник BDD₁
Угол BDD₁ прямой, так как DD₁ перпендикулярно основанию и, значит, прямой BD. Катеты: BD=13 и DD₁=AA₁=13. Тангенс угла D₁BD равен отношению противолежащего катета к прилежащему: tg∠D₁BD=DD₁:BD=13:13=1.
- Находим угол
Острый угол с тангенсом 1 равен 45°: прямоугольный треугольник BDD₁ равнобедренный. Типичная ошибка — искать угол между BD₁ и ребром BA или BB₁ вместо угла с проекцией BD.
Ответ: 45