Задание 3 ЕГЭ: Стереометрия

1. Задача 1Около прямоугольного параллелепипеда описана сфера. Стороны основания равны 3 и 4, площадь полной поверхности равна 192. Найдите радиус сферы.
2. Задача 2В правильной четырёхугольной пирамиде периметр основания равен 24, а апофема равна 5. Найдите квадрат бокового ребра.
3. Задача 3Образующая прямого конуса равна 5, площадь боковой поверхности равна 15π. Найдите V/π, где V — объём конуса.
4. Задача 4В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 3 и 4, а пространственная диагональ равна 13. Найдите объём параллелепипеда.
5. Задача 5В правильной четырёхугольной пирамиде периметр основания равен 24, апофема равна 5. Найдите объём пирамиды.
6. Задача 6Высоты двух цилиндров относятся как h₁:h₂=8:1, а радиусы — как r₂:r₁=4:1. Найдите V₂/V₁.
7. Задача 7Объём прямоугольного параллелепипеда равен 144, а стороны основания равны 3 и 4. Найдите площадь его полной поверхности.
8. Задача 8В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, а квадрат бокового ребра равен 34. Найдите объём пирамиды.
9. Задача 9Около куба с ребром 4 описана сфера. Найдите квадрат её радиуса.
10. Задача 10Площадь основания прямого конуса равна 9π, а площадь боковой поверхности равна 15π. Найдите высоту конуса.
11. Задача 11В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 4 проведено диагональное сечение ACC₁A₁. Найдите квадрат диагонали AC₁ этого сечения.
12. Задача 12В правильном тетраэдре ABCD с ребром 4 точки M и N — середины противоположных рёбер AB и CD. Найдите MN².
13. Задача 13Радиус основания конуса равен 6, высота конуса равна 8. В конус вписан шар: он касается основания и боковой поверхности конуса. Найдите радиус шара.
14. Задача 14В тетраэдре DABC рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, DA=DB=6, DC=12. Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC.
15. Задача 15Около правильной треугольной призмы описан цилиндр: основания призмы вписаны в основания цилиндра. Сторона основания призмы равна 3√3, высота призмы равна 5.…
16. Задача 16Плоскость пересекает шар по кругу радиуса 12 и отсекает от шара меньшую часть — шаровой сегмент. Высота сегмента (наибольшее расстояние от точек этой части…
17. Задача 17Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды SABC, если AB=6, а SA=5.
18. Задача 18Угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса равен 60°, высота конуса равна 6√3. Найдите площадь боковой поверхности конуса, делённую на π.
19. Задача 19Диагональ осевого сечения цилиндра равна 17, а высота цилиндра равна 15. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, делённую на π.
20. Задача 20Объём пирамиды равен 54. Через точку, делящую высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём…
21. Задача 21Три металлических шара радиусов 3, 4 и 5 переплавили в один шар. Найдите радиус получившегося шара (потерями металла при переплавке пренебречь).
22. Задача 22Боковую поверхность прямого кругового конуса разрезали по образующей и развернули на плоскость. Получился круговой сектор радиуса 9 с центральным углом 120°.…
23. Задача 23В цилиндрический сосуд налили воду; уровень воды достигает 64 см. Всю воду перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза…
24. Задача 24Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с катетами CA=6 и CB=8. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°.…
25. Задача 25Основание пирамиды SABCD — прямоугольник ABCD со сторонами AB=9 и AD=5. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 12. Найдите площадь…
26. Задача 26В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 12. Найдите длину отрезка BE₁.
27. Задача 27В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD высота SO равна 12, AB=10. Найдите тангенс угла между боковой гранью SAB и плоскостью основания.
28. Задача 28Объём треугольной пирамиды SABC равен 24. Точки M и N — середины рёбер SA и SB, а точка K лежит на ребре SC так, что SK:KC=1:2. Найдите объём пирамиды SMNK.
29. Задача 29Объём правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ равен 60. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, E, A₁, B₁, D₁, E₁.
30. Задача 30Через ребро CD куба ABCDA₁B₁C₁D₁ и середины M и N рёбер AA₁ и BB₁ проведена плоскость. Она делит куб на две части. Во сколько раз объём большей части больше…
31. Задача 31Ребро куба равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются центры всех шести граней куба.
32. Задача 32В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB=5, BC=6, CC₁=8. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через…
33. Задача 33Основание четырёхугольной пирамиды SABCD — параллелограмм ABCD. Объём пирамиды равен 48. Точка M — середина ребра SC. Найдите объём треугольной пирамиды MABD.
34. Задача 34Объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 60. Найдите объём треугольной пирамиды AB₁CD₁.
35. Задача 35В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 6√3, а боковое ребро равно 10. Найдите высоту пирамиды.
36. Задача 36Рёбра прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, выходящие из вершины A, таковы: AB=6, AD=8, AA₁=7. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми AA₁ и BD.
37. Задача 37Радиусы оснований усечённого конуса равны 2 и 4, высота равна 3. Найдите V/π, где V — его объём.
38. Задача 38В цилиндр вписан шар: шар касается обоих оснований и боковой поверхности цилиндра. Площадь поверхности шара равна 24. Найдите площадь полной поверхности…
39. Задача 39В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1800 см³ воды, и уровень воды оказался равен 24 см. Затем в воду полностью погрузили деталь, и…
40. Задача 40Полую цилиндрическую заготовку с внешним радиусом 4, внутренним радиусом 2 и высотой 3 переплавили без потерь в конус с радиусом основания 2. Найдите высоту…
41. Задача 41Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Объём цилиндра больше объёма конуса на 34. Найдите объём конуса.
42. Задача 42Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Его длина равна 5, высота 5, ширина 3, а толщина…
43. Задача 43В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB=12, AD=5, AA₁=13. Найдите угол между диагональю BD₁ и плоскостью основания ABCD. Ответ…
44. Задача 44Шар радиуса 5 пересечён плоскостью на расстоянии 3 от центра. Найдите S/π, где S — площадь сечения.
45. Задача 45Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которого равна 36. Найдите объём цилиндра, делённый на π.
46. Задача 46Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12. Площадь полной поверхности призмы равна 468. Найдите объём призмы.
47. Задача 47В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми A₁B и B₁D₁. Ответ дайте в градусах.
48. Задача 48Через вершины B, D и A₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 6 проведена плоскость. Она разрезает куб на две части. Найдите объём большей из этих частей.

Другие номера: №1 · №2 · №4 · №5 · №6 · №7 · №8 · №9 · №10 · №11 · №12 · №13 · №14 · №15 · №16 · №17 · №18 · №19