Условие
Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12. Площадь полной поверхности призмы равна 468. Найдите объём призмы.
Подсказка
Сначала отделите от полной поверхности площади двух оснований.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна периметру основания, умноженному на высоту.
Показать ответ
540
Пошаговое решение
- Находим гипотенузу и периметр основания
По теореме Пифагора гипотенуза равна √(9²+12²)=√225=15. Периметр основания P=9+12+15=36.
- Находим площадь основания
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S(осн)=½·9·12=54. Оснований два: 2·54=108.
- Находим высоту призмы
Полная поверхность = боковая + два основания, поэтому S(бок)=468−108=360. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники с общей высотой h, S(бок)=P·h, откуда h=360:36=10.
- Находим объём
V=S(осн)·h=54·10=540. Проверка: 9·10+12·10+15·10=360, и 360+108=468. Типичная ошибка — не вычесть площади оснований и получить h=13.
Ответ: 540