Условие
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми A₁B и B₁D₁. Ответ дайте в градусах.
Подсказка
Замените прямую A₁B параллельной ей прямой, проходящей через точку D₁.
Какой треугольник образуют три диагонали граней куба с попарно общими концами?
Показать ответ
60
Пошаговое решение
- Понимаем, что прямые скрещиваются
Прямая A₁B лежит в передней грани AA₁B₁B, прямая B₁D₁ — в верхней грани. Они не пересекаются и не параллельны, то есть скрещиваются. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными им.
- Переносим прямую A₁B параллельно
Отрезки A₁D₁ и BC равны и параллельны (оба равны и параллельны ребру AD), поэтому четырёхугольник A₁BCD₁ — параллелограмм и D₁C ∥ A₁B. Значит, искомый угол равен углу между D₁C и D₁B₁, то есть углу B₁D₁C.
- Рассматриваем треугольник B₁D₁C
Все его стороны — диагонали граней куба: B₁D₁ — верхней грани, D₁C — задней грани DD₁C₁C, B₁C — правой грани BB₁C₁C. Грани — равные квадраты, их диагонали равны (при ребре a каждая равна a√2). Значит, треугольник B₁D₁C равносторонний.
- Находим угол
В равностороннем треугольнике каждый угол равен 180°:3=60°, поэтому угол B₁D₁C=60°, и он острый — это и есть угол между прямыми. Типичная ошибка — решить, что прямые перпендикулярны, потому что лежат в перпендикулярных гранях.
Ответ: 60