Условие
Через вершины B, D и A₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 6 проведена плоскость. Она разрезает куб на две части. Найдите объём большей из этих частей.
Подсказка
Из какой вершины куба выходят рёбра, концами которых служат точки B, D и A₁?
Отсечённая часть — пирамида; объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту.
Большую часть найдите вычитанием из объёма куба.
Показать ответ
180
Пошаговое решение
- Определяем, какое тело отсекает плоскость
Точки B, D и A₁ — концы трёх рёбер AB, AD и AA₁, выходящих из одной вершины A. Поэтому плоскость отсекает от куба угол — треугольную пирамиду A₁ABD с вершиной A₁ и основанием ABD. Всё остальное — большая часть куба.
- Находим объём отсечённой пирамиды
Основание ABD — прямоугольный треугольник с катетами AB=AD=6: S=½·6·6=18. Ребро AA₁ перпендикулярно плоскости основания, значит, высота пирамиды h=AA₁=6. V=⅓·S·h=⅓·18·6=36.
- Находим объём куба
Объём куба равен кубу его ребра: V(куба)=6³=6·6·6=216.
- Вычитаем отсечённую часть
V(большей части)=216−36=180. Пирамида занимает 36/216=1/6 куба, большая часть — 5/6 куба. Типичная ошибка — забыть множитель ⅓ в объёме пирамиды: получилось бы 216−108=108.
Ответ: 180